发布时间 : 星期五 文章圆锥曲线（椭圆）推论及证明更新完毕开始阅读
圆锥曲线（椭圆）推论及证明
引言
圆锥曲线作为一类特殊图形由于它的灵活性而成为热门考题。而在江苏的试题中它往往与函数相伴而行成为解析几何的题型。这些题目的形式大多是两问或三问，前面的问题以特殊情况来求出一种结论，最后一问将这个结论推广到给定条件下的任意情况，而这类题目中曲线又多是椭圆。这次我们就来总结椭圆的一些特性。 1
我们都学过在圆上过圆心的直线AB交圆的两点A、B及圆上另一与A、B不重合的点C形成的三角形为直角三角形，其中∠ACB=90°（图1）。 放在坐标系中则得 kAC?kBC=-1。
那么是否在椭圆中过椭圆中心的直线AB与椭圆交于A、B 两点（图2）， 其中 kAC?kBC为定值？
由投影变换（图3）我们可以预测这种关系。 下面我们来证明其正确性： 证：
设A（x,y）,B（-x,-y）,C（m,n） kAC?kBC
n?yn?y?m?xm?xn2?y2?2m?x2a2m2a2x222(a?2)?(a?2)bb?m2?x2a2x2a2m2?22bb?2m?x2a2??2 b?B B A C A C 投影变换 圆 证毕
小结：
这个结论需要牢记，因为在很多问题中我们会用到这个结论 例如右图所示，图中AC与AB斜率积为定值，CD与AB斜率
椭圆 A D 积也为定值，那么AC与CD斜率的商就可以求出是定值 2
C B
x2y2而若AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB
ab的中点，则kOM?kAB证：
b2x0b2??2，即KAB??2。
aay0A M O B ?x?xy?y2?设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则M为?12,1?
22??x2y2设AB为y?kn?n，椭圆方程为2?2?1
ab?1k2?22knn2两式联立得??a2?b2??x?b2x?b2?1?0
??根据韦达定理得
2knkn22x1?x2a2knbb???2??2
b?a2k22b?a2k2?1k2?2??a2?b2??a2b2???所以
y1?y22n?k?x1?x2?a2k2nb2n??n?2? 22b?a2k2b2?a2k2kOMy1?y2b22???2
x1?x2ak2b2b2??2?k??2
akakOM?kAB证毕 小结：
这个问题曾在题目中出现过，主要就是抓住直线与椭圆的方程联立，运用韦达定理求出x1?x2并通过完全平方公式的互化求解
3
椭圆上点P处的切线PT平分?F1PF2在点P处的外角。 T 证：
P x2y2设椭圆2?2?1,F1(-c,0),F2(c,0),P?x0,y0?，
abPF1斜率为k1，PT斜率为k2，PF2斜率为k3 由题即证PT平分PF1、PF2 即证
k?kk2?k1?32
1?k1k21?k2k3F1 F2 PT为
x0xy0y?2?1 2abx0b2b2x0y0y0?k2??2???2,k1?,k3?ay0ay0c?x0x0?cb2x0y0b2x0y0b2x0y?2??2??2?0ay0c?x0ay0c?x0ay0c?x0k?k?21???y0b2x0x0a2?a2c?x0b2c2x0?a2c1?k1k21??2c?x0ay0a2?c?x0?a2?c?x0?22?b2x0?c?x0??a2y0?b2x0?a2y0?b2cx0?a2b2?b2cx0???y0ccx0?a2y0ccx0?a2y0ccx0?a2?b?a?cx0b??y0ccx0?a2y0c2??2??????????2
同理：
k3?k1bcx0?ab???1?k2k3y0ca2?cx0y0ck2?k11?k1k2??1k3?k21?k2k3?k?kk2?k1?321?k1k21?k2k32??2??2
证毕
小结：
这个结论主要是通过椭圆上的点的切线方程（
x0xy0y?2?1）入手，表示出切线2abtan?1?tan?2k?k?k?12）将
1?tan?1tan?21?k1k2的斜率，再通过倒角公式（tan??tan??1??2??三者间的斜率两两对应求解
4
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。 证：
设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，PQ为y?k?x?c?，
x2y2椭圆为2?2?1
abP M ?y?k?x?c??联立方程?x2y2??1??a2b2?1k2?22k2ck2c2???a2?b2??x?b2x?b2?1?0??A F
Q N 由韦达定理可知
2k2ca2a2c2k2?a2b2x1?x2?2,x1x2? 22b?akb2?a2k2