发布时间 : 星期五 文章高考数学易错题8.1 忽视直线的斜率不存在-2019届高三数学提分精品讲义更新完毕开始阅读
（1）求椭圆的离心率；
（2）设线段AB的中点为G,线段AB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点,记
?GFD的面积为S1,?OED的面积为S2,求【答案】（1）2S1S2的取值范围. 22S1?S219；（2）(0,)． 241【解析】(1)令F(?c,0)(c?0),则M?a?c,m?a?c.
323311a,得(a?c)(a?c)?a2,即a2?c2?a2,即a2?4c2,?e2?,即e?, 444421所以椭圆的离心率为.学科网 2由Mgm?（2）由线段AB的垂直平分线分别与轴x、y轴交与点D、E,知AB的斜率存在且不为0. 令AB的方程为x?ty?c.
?x?ty?c?222联立?x2,得(3t?4)y?6cty?9c?0. y2?2?2?1?4c3c6ct?8c?4c3ct,,x?x?t(y?y)?2c??G(,). 12123t3?43t2?43t2?43t2?4?3ct21?c3t?4g??1,解之得xD?2由DG?AB,得. 4ct3t?4xD?23t?4?4cc3ct(2?2)2?(2)22SGD3t?4?9t2?9?0. ?3t?43t?4由Rt?DGF∽Rt?DOE,得1?2?cS2OD(2)23t?4?y1?y2?令2SS2S1. ?p,则p?9,于是2122?1S1?S2p?S2p而p?111822SS29上(9，.于是2122?+?)递增,?p??9???. pp99S1?S282419又2S1S22S1S22S1S299,,的取值范围是(0,). ?0??(0,)?22241S12?S2S12?S241S12?S2
3x2y24．【2017届湖南长沙一中高三理月考五】如图,椭圆C1：2?2?（的离心率为,x轴被曲线1a＞b＞0）2abC2：y?x2?b截得的线段长等于C1的长半轴长．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B,直线MA,MB分别与C1相交于D,E．
（i）证明：MD?ME；
（ii）记?MAB,?MDE的面积分别是S1,S2．问：是否存在直线l,使得程；若不存在,请说明理由．
S117?？若存在,求出直线l的方S223x233【答案】（I）（II）（i）证明见解析；（ii）y?x和y??x． ?y2?1；422cb23【解析】（Ⅰ）由题得e??1?2?,从而a?2b,又2b?a,解得a?2,b?1,
aa2x2故C1的方程分别为?y2?1．
4
（ii）设直线MA的斜率为k1,则直线MA的方程为y?k1x?1．
?y?k1x?1?x?0?x?k1由?,解得?或?． 22y?k?1y?x?1y??1???1（k1，k1?1）则点A的坐标为．
又直线MB的斜率为?2111（?，2-1）,同理可得点B的坐标为．
k1k1k111111?k122于是S1?|MA||MB|?． 1?k1?|k1|?1+2?|?|?22k1k`2|k1|由?y?k1x?1（1?4k12）x2?8k1x?0． 得22?x?4y?4?0?8k1?x??1?4k12?x?08k14k12?1?,)． 解得?或,?,则点D的坐标为(2221?4k11?4k1?y??1?y?4k1?12?1?4k?11?8k14?k12,)． 又直线ME的斜率为?．同理可得点E的坐标为(k14?k124?k12232（1+k1）|k1|1于是S2?|MD||ME|=． 222(1?4k1)(k1?4)故S114171?(4k12?2?17)?,解得k12?4或k12?． S264k1324
1k1213又由点A,B的坐标得,k??k1?．所以k??．
1k12k1?k1k12?故满足条件的直线l存在,且有两条,其方程为y?33x和y??x． 22椭圆的方程联立,转化为根与系数和韦达定理是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档试题.
x2y2
5.已知椭圆2＋2＝1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半
ab→→→→
轴和y轴分别交于Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足PM＝λ1MQ,PN＝λ2NQ. (1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3,试证明：直线l过定点并求此定点．
【解析】(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b＝1,且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2, 又a2＝b2＋c2,所以a2＝3. x22
所以椭圆的方程为＋y＝1.
3(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1), N(x2,y2),设l方程为x＝t(y－m),
→→
由PM＝λ1MQ知(x1,y1－m)＝λ1(x0－x1,－y1), m
∴y1－m＝－y1λ1,由题意y1≠0,∴λ1＝－1.
y1m→→
同理由PN＝λ2NQ知λ2＝－1.
y2
∵λ1＋λ2＝－3,∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0,①
22??x＋3y＝3，联立?
?x＝ty－m?
得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0,
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0,② t2m2－32mt2
且有y1＋y2＝2,y1y2＝2,③
t＋3t＋3③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0, ∴(mt)2＝1,
由题意mt<0,∴mt＝－1,满足②,
得l方程为x＝ty＋1,过定点(1,0),即Q为定点．
x2y236．已知直线y?x?1被圆x?y?截得的弦长恰与椭圆C:2?2?1(a?b?0)的短轴长相等,椭圆
ab222