发布时间 : 星期日 文章高考数学易错题8.1 忽视直线的斜率不存在-2019届高三数学提分精品讲义更新完毕开始阅读
专题八 解析几何
误区一：忽视直线的斜率不存在失误
一、易错提醒
斜率是研究直线的重要工具,它贯穿于整个直线与方程的始终,在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,所以在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解．
二、典例精析
误区1: 用直线的点斜式方程,忘记讨论斜率不存在而致误
方程y?y0?k?x?x0?表示经过点?x0,y0?,斜率为k的直线,该方程称作直线的点斜式方程,在利用直线的点斜式方程解题时,首先要判断直线的斜率是否存在,若有可能不存在,则要分斜率存在与不存在两种情况讨论．
【例1】已知直线l经过直线2x?y?5?0与 x?2y?0的交点. （1）点A(1，0)到直线l的距离为1,求l的方程； （2）求点A(1，0)到直线l的距离的最大值.
【解析】（1）联立??2x?y?5?0解得交点B(2,1),
x?2y?0?[来源学+科+网Z+X+X+K]
若直线l的斜率不存在,即方程为x?2,
此时点A到直线l的距离为1,满足题意；
若直线l的斜率存在,设方程为y?1?k(x?2),即kx?y?1?2k?0,
∴|k?1?2k|k?12?1,解得k?0,直线方程为y?1；
综合得：直线l的方程为x?2或y?1. （2）若直线l的斜率不存在,即方程为x?2,距离为1 , 若直线l的斜率存在,设方程为y?1?k(x?2),即kx?y?1?2k?0,
点A到直线l的距离为d?|k?1?2k|k2?2k?1?2k??1?, 222k?1k?1k?1?2k22=1??1??2 21k?12(?k)?(?k)显然k?0时,d有最大值,且d?1?当且仅当k??1取等号 ∴点A到直线l的距离的最大值为2
（2）由2x?y?5?0和x?2y?0得交点B（2,1） 依题意AB和直线l垂直距离最大.又A（1,0）?AB? 距离最大值为2
【点评】若忽视斜率不存在,则容易漏解． 【小试牛刀】已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y＝2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关
(2?1)2?12?2
系,并证明你的结论．
x2y2
【解析】(1)由题意得,椭圆C的标准方程为＋＝1,
42所以a2＝4,b2＝2,从而c2＝a2－b2＝2.
c2
因此a＝2,c＝2.故椭圆C的离心率e＝＝.
a2(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下： 设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.
2y0→→
因为OA⊥OB,所以OA·OB＝0,即tx0＋2y0＝0,解得t＝－. x0t2
当x0＝t时,y0＝－,代入椭圆C的方程,得t＝±2,
2
故直线AB的方程为x＝±2,圆心O到直线AB的距离d＝2. 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
y0－2
当x0≠t时,直线AB的方程为y－2＝(x－t)．
x0－t即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圆心O到直线AB的距离d＝
.
（y0－2）2＋（x0－t）2
|2x0－ty0|
2
2y0
2
又x2,故d＝0＋2y0＝4,t＝－x0
?2x0＋2y0?
x0??
2x20＋y0＋
＝4y20
＋4x20
0??4＋x2
?x0?4＋8x2＋16x00
2x20
＝2.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
【点评】注意本题第2问,要分x0＝t及x0≠t两种情况讨论,因为x0＝t时,直线AB的斜率不存在. 误区2: 用直线的斜截式方程,忘记讨论斜率不存在而致误
方程y?kx?b表示斜率为k,且在y轴上的截距为b的直线,称作直线的斜截式方程,在利用直线的斜截式方程解题,也要判断直线的斜率是否存在,若有可能不存在,则要分斜率存在与不存在两种情况讨论．
x2y26【例2】【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知椭圆C:2?2?1,?a?b?0?的离心率,且过点
ab3?6?1,??3??.学=科网 ??(Ⅰ）求椭圆C的方程； (Ⅱ)设与圆O:x2?y2?的方程.
3相切的直线l交椭圆C与A,B两点,求?OAB面积的最大值及取得最大值时直线l4
x233【答案】（1）（2）最大值为,此时直线方程y??x?1. ?y2?1；233【分析】（1）利用由条件求出椭圆的几何量,然后求解椭圆方程；（2）①当k不存在时,直接求解三角形的面积；②当k存在时,设直线为y?kx?m,A联立直线与椭圆的方程组,通过韦达定理与（x1，y1），（Bx2，y2）距离公式表示出三角形的面积,利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程. 2?1??12?3b2?a【解析】（1）由题意可得：? c6???3?ax2a?3,b?1,??y2?1 322（2）①当k不存在时,x???S?OAB?133?3?? 22433, ,?y??22②当k不存在时,设直线为y?kx?m,
A?x1,y1?,B?x2,y2?,
?x22??y?1,?1?3k2?x2?6km?3m2?3?0 ?3?y?kx?m??6km3m2?3x1?x2?,x1x2? 221?3k1?3kd?r?4m2?3?1?k2? AB?1?k21?10k2?9k44k2??6km??3??3?1? ?2?1?6k2?9k41?6k2?9k4?1?3k?4?2 [来源学*科*网]?3?1?1?9k2?62k当且仅当?S?OAB?31时等号成立 ?9k2,即k??23k1133AB?r??2??, 222233x?1. ,此时直线方程y??23??OAB面积的最大值为