发布时间 : 星期四 文章统计量与抽样分布更新完毕开始阅读
查标准正态分布函数值表可得
u0.05?1.645
而水平0.05的双侧分位数为u0.025，它满足
查表得
?0(u0.025)?1?0.025?0.975
u0.025?1.96
2下面我们给出统计三大分布的生成背景。?分布、t分布和F分布是统计学上的三大分布，它们在统计上有着广泛的应用，在独立性的假设下可以导出这些分布。
1.3.2 ?分布
定义1.3.3 （?分布的由来）设X1,X2,?,Xn是n个相互独立、同分布的随机变量，其共同分布为标准正态分布N(0,1)，则随机变量
22Y?X12?X2???Xn
22服从自由度为n的?分布，记为?n。下面来导出?分布的概率密度函数。
首先令Z?X1，并求其分布。由于Z非负，故当z?0时，P(Z?z)?0；而当z?02222时，则Z的分布函数为
P(Z?z)?P(X12?z)?P(?z?X1?
?FX1(z)?FX1(?z)
z)
对z求导数，得Z的概率密度函数
?11?pZ(z)?z2pX1(z)?pX1(?z)
21??
其中pX1(x)?(2?)Exp?x?22?为标准正态概率密度函数。代入上式，可得
z??1?1z2e2,z?0?pZ(z)??2? (1.3.1)
?0,z?0?这正是?分布?(,)，即形状参数和尺度参数皆为
11221的?分布（?(?)为Gamma函数）。 2222由于X1,X2,?,Xn独立同分布，故X1,X2,?,Xn亦为独立同分布，其公共分布为
1122???Xn的分布为?(,)。再由?分布的可加性（或再生性）可得Y?X12?X222?n1???,?，这正是?2分布，其概率密度函数为 ?22?
n?1?2????ny?1???2?22?kn(y)???n?ye,y?0 (1.3.2)
??????2???0,y?022
其中n称为自由度，是?分布中唯一的参数。?分布密度函数的图形如图1.3.4所示。。由于?变量Y是n个独立变量X1,X2,?,Xn的平方和，每个变量Xi都可以随意取值，可以说它有n个变量，故有n个自由度。 和
22Y2?Z12?Z2???Zn
2?2分布具有下面的重要性质：
2221．可加性 设Y1~?m,Y2~?n，且两者相互独立，则Y1?Y2~?m?n
事实上，根据?分布的定义，我们可以把Y1和Y2分别表示为
22Y1?X12?X2???Xm
2其中X1,X2,?,Xm和Z1,Z2,?,Zn都服从N(0,1)，且相互独立，于是
22根据?分布的定义，这就证明了Y1?Y2~?m?n。
2222．E(?n)?n，D(?n)?2n。即?分布的均值等于它的自由度，而方差等于它的
2222Y1?Y2?X12?X2???Xm?Z12?Z2???Zn
自由度的二倍。
222设Y~?n，则Y?X1?X2???Xn可以表示为，这里Xi~N(0,1)且相互独立。
22因而E(Xi)?0，D(Xi)?E(Xi)?1。故
E(Y)?E(?X)??E(Xi2)?n
2ii?1i?1nn这就证明了第一条结论。 另一方面，利用分部积分不难验证
E(Xi4)?12??4x?e?x22dx?3,i?1,2,?,n
??于是
D(Xi2)?E(Xi4)?(E(Xi2))2?3?1?2
再利用X1,X2,?,Xn的独立性，有
D(Y)??D(Xi2)?2n
i?1n这就证明了第二条结论。
对于给定的正数?,0???1，我们称满足条件
??
P(???(?))?2n2n2?n(?)?kn(y)dy??
2的数?n(?)为?n分布的上?分位数，如图1.3.5所示，对不同的n和?，分位数?n(?)的
22图1.3.4 ?n分布的概率密度函数 图1.3.5 ?n分布的分位数
22
2值可在附表3中查到。例如??0.05,n?20,?20(0.05)?31.410。
1.3.3 t分布
定义1.3.4 （t分布的由来）设随机变量X~N(0,1)，Y～?n且X与Y相互独立。 则随机变量
2T＝XYn
的分布称为自由度为n的t分布，记为T~tn。下面来导出t分布的概率密度函数。
首先令Z?Yn，并求其的分布。由于Z为正，故当z?0时，P(Z?z)?0；而当
z?0时，Z的分布函数为
P(Z?z)?P(Yn?z)?P(Y?nz2)?FY(nz2)
pZ(z)?2nzkn(nz2),z?0 (1.3.3)
对z求导数，得Z的概率密度函数
其中kn(?)为自由度n的?分布的概率密度函数。如1.3.2式所示。
其次，我们求二个独立随机变量商T?XZ的分布。把随机变量T的取值记为u。由于Z?0，而正态变量X可在(??,?)上取值，故T变量也可在(??,?)上取值，其分布函数为
2
P(T?u)?P(X?u)?P(X?uZ)???pX(x)pZ(z)dxdz Zx?uz由于z?0，上述二重积分的积分区域如图1.3.6所示，通过化重积分为累次积分，可得
?uz?P(T?u)????pX(x)dx?pZ(z)dz
o??????对u求导数，即得t分布函数的概率密度函数为
pt(u)??zpX(uz)pZ(z)dz (1.3.4)
0这里我们就证明了下面定理。
图1.3.6 积分区域
定理1.3.1 设X与Z是二个相互独立仅在(0,?)上取值的随机变量，其概率密度函数分别为pX(x)和pZ(z)，则其商T?XZ的密度函数为1.3.4式所示。
在1.3.4式中，取pX(x)是标准正态概率密度函数，pZ(z)是如1.3.3式所示的概率密