发布时间 : 星期五 文章统计量与抽样分布更新完毕开始阅读
??0.3X??0.3???? ?P??? ?????nnn???????0.3???0.3? ?????????
?????n?n???
???0.3? ?2????1
???n??
?2?(1.5)?1?0.8664
这就是说，对于装25瓶的一箱而言，平均每瓶罐装量与标准定值不超过0.3毫升的概
率近似地为0.8664。
如果每箱装50瓶，我们不难算出
PX???0.3?0.966
??可见，当每箱由25瓶增加到50瓶时，我们能以更大的概率保证厂家和商家都不吃亏。
1.2.3 经验分布函数
为了从理论上进一步说明随机样本能够很好地反映总体X的情况，我们引入经验分布函数。
定义1.2.1 设有总体X的n个独立的观察值，按大小次序可排成x1?x2???xn，
对(??,??)上的一切x定义函数
?0,x?x1?k? Fn(x)??,xk?x?xk?1(k?1,2,?,n?1) ?n??1,xn?x称为函数Fn(x)为总体X的经验分布函数或样本分布函数。如图1.2.1所示，图中的阶梯形的曲线是经验分布函数，而光滑曲线是总体X的分布函数F(x)。
图1.2.1经验分布函数
例如，已知样本值：6.60，4.60，5.40，5.80，5.40。将它们从小到大重新排列：4.60，5.40，
5.40，5.80，6.60。经验分布函数为
?0,x?4.60;?1?,4.60?x?5.40;?5??3F5(x)??,5.4?x?5.80
?5?4?5,5.8?x?6.60;???1,6.60?x
根据经验分布函数的定义，Fn(x)等于样本值落入区间(??,x]内的频率。考虑随机事
件A?{X?x}，A的概率P(A)?F(x)。把样本值x1,x2,?,xn看作n次独立试验的结果，在这n次试验中A发生的频率为Fn(x)。根据大数定律，对于任意的??0，有
limP{Fn(x)?F(x)??}?1
n??事实上，还可以进一步证明下述定理：
定理1.2.2 当n??时，Fn(x)以概率1关于x一致地收敛于F(x)， 即
P{limsupFn(x)?F(x)?0}?1
n?????x???上述事实表明，当样本容量n充分大时，样本取值的分布相当准确地反映了总体X的
分布。从而，有可能通过样本值来了解总体X的情况。
1.3 抽样分布
前面已指出，当取得总体的样本后，通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断。为了实现推断的目的必须进一步确定相应的统计量所服从的分布。这样就有必要补充一些在本书概率论部分未曾提及，但在统计学中却经常用到的分布。
1.3.1 分位数
在统计推断中，经常用到统计分布的一类数字特征——分位数。在即将讨论一些常用的
统计分布前，我们首先给出分位数的一般概念。
定义1.3.1 设随机变量X的分布函数F(x)为，对给定的实数?(0???1)，如果实
数F?满足 即
P?X?F????
1?F(F?)??或F(F?)?1??
则称F?为随机变量X的分布的水平?的上侧分位数。或直接称为分布函数F(x)的水平?的上侧分位数。
显然，如果F(x)是严格单调增的，那么其水平?的上侧分位数为
F??F?1(1??)
当X是连续型随机变量时，设其概率密度函数为f(x)，则其水平?的上侧分位数F?满足
?
F??f(x)dx??
在图形上（图1.3.1），介于密度函数曲线下方，x轴上方与垂直直线x?F?右方之间的
阴影区域的面积恰恰等于?。 即
例如，标准正态分布N(0,1)的水平?的上侧分位数通常记作u?，则u?满足
1??0(u?)??
?0(u?)?1??
图1.3.2 给出了标准正态分布的水平?的上侧分位数的图示。
图1.3.1 上侧分位数 图1.3.2 标准正态分布的上侧分位数
一般讲，直接求解分位数是很困难的，对常见的统计分布，在本书附录中给出了分布函数值表或分位数表，通过查表，可以很方便地得到分位数的值。比如，对给定?的，查标准正态分布的分布函数值表，可得到u?的值。对于像标准正态分布那样的对称分布（概率密度函数为偶函数，关于y轴对称！），统计学中还用到另一种分位数——双侧分位数。
定义1.3.2 设X是对称分布的随机变量，其分布函数为F(x)，对给定的实数?，如
果实数T?满足 即
P?X?T????
F(T?)?F(?T?)?1??
则称实数T?为随机变量X的分布的水平?的双侧分位数，也简称为分位数。或直接称为分布（函数）F(x)的水平?的分位数。
由于对称性，可改写为 或
图1.3.3 标准正态分布的水平?的双侧分位数
F(T?)?1??2
1?F(T?)??2
可见，水平?的分位数实际等于水平
?的上侧分位数。即有 2T??F?2
图1.3.3以标准正态分布为例给出了双侧分位数的图示。
例1.3.1 设??0.05，求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数。 解 由于
?0(u0.05)?1?0.05?0.95