发布时间 : 星期日 文章专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题更新完毕开始阅读
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第三章 解析几何
专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、定直线问题. 一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数. 2. 定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
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三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
【压轴典例】
x2y2例1.（2017·全国高考真题（理））已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
ab33），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上. 22（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
1x2例2.（2019·全国高考真题（文））已知曲线C:y?,D，为直线y??上的动点，过D作C的两条切
22线，切点分别为A,B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E?0,??5??为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 2?例3．（2019·全国高考真题（文））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
x2例4.（2017新课标全国Ⅱ文理）设O为坐标原点，动点M在椭圆C:?y2?1上，过M作x轴的垂线，
2垂足为N，点P满足NP?（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 例5.（2018·北京高考真题（理））已知抛物线C：y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
22NM.
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（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：
1??1?为定值．
1x2例6. （2019·全国高考真题（理））已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，
22切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，
5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2x2y2例7.（2019·北京高考真题（文））已知椭圆C:2?2?1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线l:y?kx?t(t??1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
x2y22例8. 已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的右焦点F1与抛物线y?4x的焦点重合，原点到过点
abA?a,0?,B?0,?b?的直线距离是
（1）求椭圆C的方程
221 7（2）设动直线l:y?kx?m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程
【压轴训练】
1．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x=?2py经过点（2，?1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=?1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
2
x2y23A(a,0)B(0,b)2．（2016·北京高考真题（理））已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的离心率为，，，
ab2O(0,0)，?OAB的面积为1.
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（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|?|BM|为定值.
3．（2017·全国高考真题（文））在直角坐标系xOy中，曲线y?x2?mx?2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
x2y24．（2018·湖南宁乡一中高三月考）已知椭圆C:?2?1(a?b?0)的左，右焦点分别为F1、F2，2ab该椭圆的离心率为
2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y?x?2相切. 2
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k?k?0?的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P,Q,R(P点在椭圆左顶点的左侧）且
?RF1F2??PFQ，求证：直线l过定点；并求出斜率k的取值范围. 15．（2019·湖北高考模拟（理））已知动点P到直线l:x??2的距离比到定点F(1,0)的距离多1. （1）求动点P的轨迹E的方程
（2）若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.
6．（2019·贵州高三开学考试（文））已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(?3,0)，且C经过点
1P(3,).
2（1）求C的方程；
（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y?kx?m与C交于A、（l不经过D点），且AD?BD.B两点
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