发布时间 : 星期六 文章青岛理工大学概率论练习册答案更新完毕开始阅读
(2) P{0 1?|x|???2edx, 得到 1xx1x当x<0时, F(x)??edx?e, 2??210x1x?x1?x当x≥0时, F(x)??edx??edx?1?e, 2??202所以X的分布函数为 ?F(x)??1??2ex,???1?12e?x,x?0, x≥0. 习题3-1 1. 已知随机变量X1和X2的概率分布分别为 X1 -1 1P 4 X2 0 1P 2而且P{X1X2?0}?1. 求X1和X2的联合分布律. 解 由P{X1X2?0}?1知P{X1X2?0}?0. 因此X1和X2的联合分布必形如 X2 0 12 1 11 14 2 X1 0 P11 P21 P31 1 0 P22 0 pi· -1 0 1 p·j 141214 1 12 12 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律 X2 0 1 X1 1 0 -1 410 0 211 0 411p· j22(2) 注意到P{X1?0,X2?0}?0, 而P{X1?0}?P{X2?0}?14pi· 14 1 2141 ?0, 所以X1和X2不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X表示取到黑球的只数, 以Y表示取到红球的只数. 求X和Y的联合分布律. 4解 从7只球中取4球只有C7?35种取法. 在4只球中, 黑球有i只, 红 球有j只(余下为白球4?i?j只)的取法为 i4?i?j,i?0,1,2,3,j?0,1,2,i?j≤4. C3C2jC2于是有 P{X?0,Y?2}?22C30C2C235?135,P{X?1,Y?1}?111C3C2C235?635, P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?1}?121C3C2C23511C32C2C2??63512,P{X?2,Y?0}?,P{X?2,Y?2}?02C32C2C23520C32C2C2??3353, , 35301310C3C2C2C3C2C22P{X?3,Y?0}???, P{X?3,Y?1}?, 35353535?P{X?0Y,?1}?PX{?1Y,??0}PX{? P{X?0,Y?0}分布律的表格形式为 X 3 0 1 2 Y 3535235Y3?,. ?0 1 2 0 0 0 1 356 356 353 3512 353 352 352 350 3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 ?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4, f(x,y)??0,其它.?求: (1) 常数k; (2) P{X?1,Y?3}; (3) P{X?1.5}; (4) P{X?Y≤4}. 解 (1) 由 4??????????f(x,y)dxdy?1, 得 421??dy?k(6?x?y)dx?k?20212??2(6?y)x?xdy?k(10y?y)?8k, ??2??0224所以 k?1. 8x?1,y?3(2) P{X?1,Y?3}???3f(x,y)dxdy??dy?2131018(6?x?y)dx 131131?? ??(6?y)x?x2dy??(?y)dy?. 822882?2???01(3) P{X?1.5?}?1.5??4fX(x)dx??1.501.5??x?d????fx(,y )yd ??dy?218(6?x?y)dx 1.58?214633??(?y)dy 828227?. 32(4) 作直线x?y?4, 并记此直线下方区域与f(x,y)?0的矩形区域(0,2)?(0,4)的交集为G. 即G:0?x?2,0?y≤4?x.见图3-8. 因此 ?1412??(6?y)x?x?dy ?2?0?P{X?Y≤4}?P{(X,Y)?G} ???Gf(x,y)dxdy??dy?244?x018(6?x?y)dx 1?????(6?y)x?x2?dy 82?2?04114?x1[(6?y)(4?y)?(4?y)2]dy ?822141??[2(4?y)?(4?y)2]dy 822?4?2???(4?y)?(4?y)??. 8?6?231?2143 图3-8 第4题积分区域 4. 二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ?kxy,x2≤y≤1,0≤x≤1, f(x,y)??其它.?0,试确定k, 并求P{(X,Y)?G},G:x2≤y≤x,0≤x≤1. 解 由1???????????f(x,y)dxdy??dx?2kxydy?0x11k1k4x(1?x)dx?,解得k?6. ?0261. 4因而 P{(X,Y)?G}??10dx?26xydy?3?x(x2?x4)dx?x0x15. 设二维随机变量(X, Y)概率密度为 ?4.8y(2?x),0≤x≤1,0≤y≤x, f(x,y)??其它.?0,求关于X和Y边缘概率密度. 解 (X,Y)的概率密度f(x,y)在区域G:0≤x≤1,0≤y≤x外取零值.因而, 有 fX(x)??????x??4.8y(2?x)dy,0?x?1,f(x,y)dy???0?其它. ?0,?2.4(2?x)x2,0?x?1,??其它.?0,