发布时间 : 星期二 文章2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算学案 新人教A版选修2-2更新完毕开始阅读
1.2 导数的计算
第1课时 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P12～P16的内容，回答下列问题． 已知函数：
①y＝f(x)＝c，②y＝f(x)＝x，③y＝f(x)＝x， 1
④y＝f(x)＝，⑤y＝f(x)＝x.
2
x(1)函数y＝f(x)＝c的导数是什么？
Δyf（x＋Δx）－f（x）c－c提示：∵＝＝＝0，
ΔxΔxΔx
(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？
11?1?2
提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x)′＝2x，??′＝－2，(x)′＝ .
x?x?2x(3)函数②③⑤均可表示为y＝x(α∈Q)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(x)′＝1·x＝αxα－1
1－1
α
*
，(x)′＝2·x22－1
111?1?α
，(x)′＝??′＝x－1＝，∴(x)′
22?x2?2x．
2．归纳总结，核心必记 (1)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q) *f′(x)＝α·xα－1 f′(x)＝cos_x f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a(a＞0) f′(x)＝ex f′(x)＝(a＞0，且xln aa≠1) 1f(x)＝ln x (2)导数运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
f′(x)＝ x1②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； 当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)． ③?
?f（x）?′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．
?2
[g（x）]?g（x）?
[问题思考]
(1)常数函数的导数为0说明什么？
提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．
(2)对于公式“若f(x)＝x(α∈Q)，则f′(x)＝αx“α∈R”，公式是否仍然成立？
提示：当α∈R时，f′(x)＝αx(3)下面的计算过程正确吗？
α－1
α
*
α－1
”，若把“α∈Q”改为
*
仍然成立．
?sinπ?′＝cosπ＝2.
?4?42??
π2
提示：不正确．因为sin＝是一个常数，
42
?π?而常数的导数为零，所以?sin?′＝0．
4??
(4)若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？ ①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)； ②?
?1?′＝－f′（x）. ?2[f（x）]?f（x）?
[课前反思]
提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．
(1)基本初等函数的导数公式有哪些？
2
； (2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？
．
[思考] 你能说出函数f(x)＝c与f(x)＝x、f(x)＝sin x与f(x)＝cos x、f(x)＝a与f(x)＝e、f(x)＝logax与f(x)＝ln x的导数公式有什么特点和联系吗？
名师指津：(1)幂函数f(x)＝x中的α可以由Q推广到任意实数． (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．
(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(e)′＝e是(a)′＝aln
xxxxα
*
α
xxa的特例．
1
(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x)′＝是(logax)′＝
x1
的特例． xln a讲一讲
1．求下列函数的导数：
(1)y＝10；(2)y＝lg x；(3)y＝log1x；
2
xxx??(4)y＝x；(5)y＝?sin ＋cos ?－1. 22??
4
3
2
[尝试解答] (1)y′＝(10)′＝10ln 10. (2)y′＝(lg x)′＝
1
. xln 10
xx11
(3)y′＝(log1x)′＝＝－.
1xln 2xln 223
313
(4)y′＝(x)′＝(x4)′＝x－＝. 444
4x4
3
3
xx??(5)∵y＝?sin ＋cos ?－1 22??
＝sin＋2sin cos ＋cos－1
2222＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． (2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
练一练
1．求下列函数的导数：
2
2
xxx2
x?1??1?(1)y＝??；(2)y＝??； ?e??10?
3
(3)y＝lg 5；(4)y＝3lgx； (5)y＝2cos－1.
2
1?x1??1?x?1?－x解：(1)y′＝????′＝??ln＝－x＝－e.
e?e?e??e??1?x??1?x?1－ln 10?(2)y′＝????′＝??ln ＝ x1010?10???10??＝－10 ln 10.
(3)∵y＝lg 5是常数函数， ∴y′＝(lg 5)′＝0. 3
(4)∵y＝3 lgx＝lg x， ∴y′＝(lg x)′＝
2
－x2
xxx1
. xln 10
(5)∵y＝2cos－1＝cos x，
2∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
讲一讲
2．(链接教材P15－例2)求下列函数的导数：
x
4