发布时间 : 星期五 文章新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第八章 立体几何 83更新完毕开始阅读
(a－x)，
∴S?EFGH＝FG·GH·sin α
bbsin α＝x··(a－x)·sin α＝x(a－x)．
aa∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a为定值， bsin αabsin α∴当且仅当x＝a－x时，x(a－x)＝，
a4ab
此时x＝，y＝.
22
即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大． 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧
棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
解 如图所示，在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，
连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG， ∵EG∥CD∥AF，EG＝AF， ∴四边形FEGA为平行四边形， ∴FE∥AG.
又AG平面PAD，FE?平面PAD， ∴EF∥平面PAD. ∴F即为所求的点．
又PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC， 又BC⊥AB，∴BC⊥面PAB. ∴PB⊥BC.
∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.
6
a，试在3
设PA＝x则PC＝2a2＋x2，
由PB·BC＝BE·PC得： a2＋x2·a＝
6
2a2＋x2·a，
3
∴x＝a，即PA＝a，∴PC＝3a. 又CE＝ ∴
a2－?
623a?＝a， 33
PE2GEPE2
＝，∴＝＝， PC3CDPC3
222即GE＝CD＝a，∴AF＝a.
3332
即AF＝AB.
3
故点F是AB上靠近B点的一个三等分点．
5．立体几何中的探索性问题
典例 (12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA2＝. 3
(1)求四棱锥S－ABCD的体积；
(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明． 规范解答
2
解 (1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝，SA＝2，
3∴AD＝3.[2分]
由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，[4分] 11
VS－ABCD＝×SA××(BC＋AD)×AB
321110
＝×2××(2＋3)×2＝.[6分] 323
(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.[8分]
证明如下：
取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF， 22
则EF綊AD，BC綊AD，
33∴BC綊EF， ∴CE∥BF.[10分]
又∵BF平面SAB，CE?平面SAB， ∴CE∥平面SAB.[12分]
解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案；
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
温馨提醒 (1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设．
(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．
[方法与技巧]
1．平行问题的转化关系 线∥线
判定性质
线∥面
判定性质
面∥性质判定面
2．直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质． 3．平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β?α∥β. [失误与防范]
1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”． 3．解题中注意符号语言的规范应用．
A组 专项基础训练 (时间：45分钟)
1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( ) A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面 答案 D
解析 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．
2．(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 答案 D
解析 对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确． 3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β