发布时间 : 星期一 文章新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第八章 立体几何 83更新完毕开始阅读
1．直线与平面平行的判定与性质
判定 定义 定理 性质 图形 aα，ba∥b b∥α α， a∥α α∩β＝b a∩α＝? a∥b a∥α，aβ， 条件 a∩α＝? 结论 a∥α 2.面面平行的判定与性质 判定 图形 定义 定理 性质 a β，bβ， a∩b＝P， a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b α∥β，aβ 条件 α∩β＝? 结论 【思考辨析】 α∥β α∥β a∥α 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ ) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )
(6)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.( √ ) (7)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )
1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( ) A．l∥α
C．l与α相交但不垂直 答案 D
解析 当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，lα.
2．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，nγ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ. 可以填入的条件有( ) A．①或② C．①或③ 答案 C
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，mγ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C. 3．下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，则b∥α 答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________． 答案 平行
B．②或③ D．①或②或③ B．l⊥α D．l∥α或lα
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO平面ACE， 所以BD1∥平面ACE.
5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条． 答案 6
解析 各中点连线如图， 只有面EFGH与面ABB1A1平行， 在四边形EFGH中有6条符合题意．
题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝1
2AD，E，F，H
分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD. 证明 (1)连接EC， ∵AD∥BC，BC＝1
2AD，
∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP， FO平面BEF，AP?平面BEF， ∴AP∥平面BEF. (2)连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点， ∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点，H是CD的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD. 命题点2 直线与平面平行性质定理的应用
例2 (2014·安徽)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
(1)证明 因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH， 所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内， 所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 从而GK⊥EF.