发布时间 : 星期一 文章数学建模优秀论文 输油管的布置更新完毕开始阅读
输油管的布置
摘 要
本文讨论了输油管线最佳布置方案及最少费用问题，即最优化问题。通过分类讨论、图形求解，以及构建非线性规划的目标函数和约束条件，编写程序，然后借助lingo软件，分别给出了三个问题的解决方案。建立了三个模型，求出了三种情况下的最优管线铺设方案和最少费用。
针对问题一的情形，我们采用分类讨论的方法，细分了三种情况：没有共用管线、有共用管线且共用管线费用与非共用管线费用相同、有共用管线但共用管线费用与非共用管线费用不同。
没有共用管线时，我们根据初等几何中“求直线上一点，到直线一侧的两定点距离之和最短”的知识，利用图形求解，得到了使得铺设管线费用最少的车站建设点。
对于后两种情况，参考了文献[1]中对“费尔马点”问题的推广，即“求一点，使得它到定直线和直线一侧两定点距离之和最短”问题的讨论，结合具体问题进行改进，得到了使得费用最少的管线铺设方案，并求出了最少费用，具体结果见正文。
问题二的情形更复杂，城区管线增加了附加费用。我们按车站建设在城区或郊区，分成两种情况讨论，然后再比较这两种情况下各自的最优方案，优中选优。这样，使得解决问题的思路变得清晰。
首先对于三家公司的估计数据，我们根据其资质等级设立权重，得到较合理的一个数据。
然后，以铺设管线的总费用作为目标函数，结合几何知识进行推理分析，得到约束条件，转化为非线性规划问题。
最后，编写程序，利用lingo软件得到关键点的坐标，进而得到最优的管线铺设方案和最少花费。我们发现，最优方案中，车站应建在郊区，而在城、郊界限处应有一个管线的转折点，具体结果见正文。
问题三与问题二相比，只是A厂和B厂所用管线的费用不同了，所以我们类似问题二的分析，稍作修改就得到了最优方案。我们发现，此时车站也应建在郊区，而在城、郊界限处也应有一个管线的转折点，具体结果见正文。
本文给出了大量图形，条分缕析，虽直观易懂，但推理严谨，深入浅出，结果准确。
1
模型可操作性强，推广应用起来也很方便。
关键词： 分类讨论 图形求解 “费尔马点”问题推广 非线性规划 权重
一、问题重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
2
若所有管线的铺设费用均为每千米7。2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：
工程咨询公司 附加费用（万元/千米） 公司一 21 公司二 24 公司三 20 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二、模型假设
1、炼油厂、车站、油管交汇处的面积可以忽略，都可以看做点 2、铁路是直的，宽度可以忽略，并且可以看做线段
3、输油管线可以在任意位置以任意形状铺设，车站可以在铁路上任一点建设 4、题目中所给数据正确无误
3
三、符号说明
R
图1
A 、B 炼油厂的位置
a 炼油厂A到铁路的垂直距离（千米） b 炼油厂B到铁路的垂直距离（千米）
s 管线总长度（千米）
c 如 图1中线段CR的长度（千米）
l 如图1中线段CD的长度（千米）
k1 A厂管线费用 （万元/千米） k2 B厂管线费用（万元/千米） k3 共用管线费用（万元/千米）
w 管线建设的总费用（万元） k4 补偿及拆迁费用（万元/千米）
m 当k1?k2?k时k3与k的比值（1?m?2）
四、模型建立与求解
4.1 问题一的模型建立及求解
由题意，此时A厂与B厂管线费用相同，即k1?k2?k。我们采用分类讨论的方法，对问题一分为三种情形分别讨论：
（1）没有共用管线；
（2）有共用管线，但共用管线费用与非共用管线费用相同；
4