发布时间 : 星期四 文章高考数学二轮复习专题三解析几何教学案更新完毕开始阅读
解得m=0或m=-4,故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0. (2)假设圆C上存在点P,设P(x,y), 则(x-2)+y=4,
2
2
PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,
即x+y-2y-3=0,即x+(y-1)=4, 因为|2-2|<
2
2
2
2
2
2-02+
2
2
0-12<2+2,
2
所以圆(x-2)+y=4与圆x+(y-1)=4相交, 所以点P的个数为2. [方法归纳]
1.有些时候,在条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题目中的,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题. 2.如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键,常见的有以下策略: (1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆; (2)动点P 对两定点A,B张角是90°(kPA·kPB=-1)确定隐形圆; ―→―→(3)两定点A,B,动点P满足PA·PB=λ确定隐形圆; (4)两定点A,B,动点P满足PA+PB是定值确定隐形圆; (5)两定点A,B,动点P满足PA=λPB(λ>0,λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆); (6)由圆周角的性质确定隐形圆. [变式训练] 在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为
上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围. 由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于
率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,
解:(1)是切线的斜如图,1,圆心在l22|3k+1|3
由题意,得=1,解得k=0或k=-,
4k2+1
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,
所以圆C的方程为(x-a)+[y-2(a-2)]=1.
设点M(x,y),因为MA=2MO, 所以x2+y-32=2x2+y2,
化简得x+y+2y-3=0,
即x+(y+1)=4,
所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即
1≤a2+2a-3
2≤3.
2
2
2
2
2
2
13 / 21
由5a-12a+8≥0,得a∈R;122
由5a-12a≤0,得0≤a≤.
5
2
?12? 所以点C的横坐标a的取值范围为?0,?.
5??
圆中的定点、定值问题[例2] 已知圆M的方程为x+(y-2)=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P点作圆
22M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若∠APB=60°,求点P的坐标;
(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当CD=2时,求直线CD的方程; (3)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
[解] (1)设P(2m,m),因为∠APB=60°,AM=1,所以MP=2,所以(2m)+(m-2)=4,解得m=0或
2
2
m=,
4
5
?84?故所求点P的坐标为P(0,0)或P?,?. ?55?
(2)易知直线CD的斜率存在,可设直线CD的方程为y-1=k(x-2), 由题知圆心M到直线CD的距离为所以
2|-2k-1|=, 21+k2
2
, 2
1
解得k=-1或k=-,
7
故所求直线CD的方程为x+y-3=0或x+7y-9=0.
?m?(3)证明:设P(2m,m),MP的中点Q?m,+1?, ?2?
因为PA是圆M的切线,
所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆,
?m?22?m?22
故其方程为(x-m)+?y--1?=m+?-1?,
?2??2?
化简得x+y-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m的恒等式,
2
2
??x2+y2-2y=0,
故?
?2x+y-2=0,?
??x=0,
解得?
?y=2?
4
x=,??5或?2
y=??5.
?42?所以经过A,P,M三点的圆必过定点(0,2)或?,?. ?55?
[方法归纳] 1与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点.解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程. 14 / 21 2与圆有关的定值问题,可以通过直接计算或证明,还可以通过特殊化,先猜出定值再给出证明. [变式训练] 1.已知点P(2,2),圆C:x+y-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为
M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当OP=OM时,求证:△POM的面积为定值. 解:(1)圆C的方程可化为x+(y-4)=16,
所以圆心为C(0,4),半径为4.
―→―→
设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).
―→―→
由题设知CM·MP=0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)+(y-3)=2. 由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)+(y-3)=2.
(2)证明:由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.
由于OP=OM,故O在线段PM的垂直平分线上,
又P在圆N上,从而ON⊥PM.
1
因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,
3
18
故l的方程为y=-x+.
33
410
又OM=OP=22,O到l的距离d为,
5
410
所以PM=2OP2-d2=,
5
116
所以△POM的面积为S△POM=PM·d=.
25
C:x+y=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.
C相切,且与直线l垂直的直线方程;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2.已知圆(1)求与圆(2)在直线
OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A)满足:对于圆C上任一点
常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
P,都有
PB
为一PA
解:(1)设所求直线方程为y=-2x+b,
即2x+y-b=0. 因为直线与圆C相切,
所以
|-b|22+12
=3,解得b=±35.
所以所求直线方程为2x+y±35=0.
15 / 21
(2)法一:假设存在这样的点B(t,0).
PB|t+3|
当点P为圆C与x轴的左交点(-3,0)时,=;
PA2PB|t-3|
当点P为圆C与x轴的右交点(3,0)时,=.
PA8
|t+3||t-3|
依题意,=,
289
解得t=-5(舍去)或t=-.
5
PB?9? 下面证明点B?-,0?对于圆C上任一点P,都有为一常数.PA?5?
设P(x,y),则y=9-x,
PB2
所以=
PA2
2
2
?x+9?2+y2?5???
188118
x2+x+9-x2+·5x+17
525259
===.
x+52+y2x2+10x+25+9-x22·5x+1725
PB3
从而=为常数.
PA5
PB2222222
法二:假设存在这样的点B(t,0),使得为常数λ,则PB=λPA,所以(x-t)+y=λ[(x+5)+
PA
y],将y=9-x代入,得
x-2xt+t+9-x=λ(x+10x+25+9-x),
即2(5λ+t)x+34λ-t-9=0对x∈[-3,3]恒成立,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
??5λ2+t=0, 所以?
?34λ2-t2-9=0.?
3
λ=,??5解得?9
t=-??5
??λ=1,
或?
?t=-5?
(舍去).
PB3?9? 故存在点B?-,0?对于圆C上任一点P,都有为常数.
PA5?5? 与直线或圆有关的最值或范围问题
[例3] (2016·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以
M为圆心的圆
M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
―→―→―→
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围. [解] 圆M的标准方程为(x-6)+(y-7)=25, 所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0). 因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
2
2
圆N的标准方
16 / 21