发布时间 : 星期六 文章2020年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）（有答案解析）更新完毕开始阅读
（140-80）2+（160-80）2=24000； 回归系数为=
=
=-0.075，
==80-（-0.075）×80=86，---------（9分）
y关于时间t的线性回归方程为：=-0.075t+86；----------（10分）
（III）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，
所以使用鼠标60分钟就该休息了．---------（12分）
解析：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图，计算平均值、，求出- 的值； （II）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t的线性回归方程；
（III）根据题意知40分钟到60分钟y的下降幅度最大，说明60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．
本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题． 20.答案：解：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），F（0，1）， ∴直线AF的斜率为
，
x+1，
由已知直线BF斜率存在，直线BF的方程为y=令y=-1，x=∴B（
，
，-1），
直线AB的斜率为==，由y=知，y′|=，
∴直线AB与抛物线相切．
（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）， 直线AM的斜率为直线AN的斜率为∵AM⊥AN， ∴
?
=-1，
==
=，
，
∴x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16， ∴∴x2-，
x-4=0，
第13页，共16页
∴x1+x2=∴x02+
，x1x2=-4 x0-4=-16，
∴y02-2y0-3=0 ∵y0＞0， ∴y0=3， 又x0＞0， ∴x0=2，
∴存在A（2，3），使得AM⊥AN．
解析：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF的方程，求出点B的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．
（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN的斜率，根据直线的垂直可得x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，再根据韦达定理，即可求出点A的坐标．
本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
21.答案：解：（I）∵函数f（x）=（2-x）ek（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数），
（）
∴f′（x）=ekx-1[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，--------（2分） 即-kx+2k-1≤设g（x）=
对于?x∈R恒成立，
，则g（x）≥0对于?x∈R恒成立．
则g（1）=2-k≥0，∴k≤2．--------（4分） 当k=2时，
，g′（1）=0，
x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增， x∈（-∞，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减， g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0恒成立， 故k的最大值为2．--------（6分）
证明：（II）当k=2时，f（x）=（2-x）?e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，--------（7分） 当x∈（1，2）时，f（x）＜f（1），即（2-x）?e2（x-1）＜x， ln（2-x）+2（x-1）＜lnx，2（x-1）＜ln下面证明：-令H（x）=ln（2x-1）-（-，②
），则H′（x）=
≥0，
，①--------（9分）
∴H（x）单调递增，H（x）＞H（1）=0，故②成立，--------（11分） 由①+②得ln
＞2（x-）成立．---------（12分）
第14页，共16页
解析：（I）推导出f′（x）=ek=设g（x）
（x-1）
[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，从而-kx+2k-1≤对于?x∈R恒成立，
，
≥0对于?x∈R恒成立．，则g（x）推导出k≤2．当k=2时，
g′（1）=0，利用导数性质推导出g（x）≥0恒成立，由此能求出k的最大值．
（）（）
（II）当k=2时，f（x）=（2-x）?e2x-1-x单调递减，且f（1）=0，当x∈（1，2）时，（2-x）?e2x-1+22＜x，从而ln（2-x）（x-1）＜lnx，（x-1）＜ln＞2（x-）成立．
本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元
法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
-，再证明：
，由此能证明ln
22.答案：解：（I）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，
12×=----（4分） 线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S弓形=S扇形OMN=×（II）设P（cosθ，sinθ），A（2，0）
∵P为线段AQ的中点，∴Q（2cosθ-2，2sinθ）---------（6分） ∵Q在曲线C上，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1 ∴（2cosθ-2）2+（2sinθ）2=1 ∴8cosθ=7，cosθ=---------（8分） P（，±）---------（10分）
θ=时对应的点为N，解析：（Ⅰ）设θ=时对应的点为M，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S
弓形
=S扇形OMN=×12×=；
（Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线C的方程可得．
本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
23.答案：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4， ∴
①，或
②，或
③．
解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈?． 综上可得，不等式的解集为（-，）．
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．
再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．
第15页，共16页
设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，
再由+a≤4，求得0＜a≤．
解析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
第16页，共16页