发布时间 : 星期四 文章2018届高考数学（理）一轮复习：微专题5 三个二次关系更新完毕开始阅读
微专题5 三个二次关系
方法指导·识技巧 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，它们是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具．高考试卷中近一半的试题与三个“二次”问题有关．本微专题主要帮助学生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法．
1．二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法：
一般式：y＝ax2＋bx＋c；零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)；顶点式：y＝a(x－x0)2＋n.
1
(2)当a＞0时，f(x)在区间上的最大值为M，最小值为m，令x0＝(p＋q)．
2
b
若－＜p，则f(p)＝m，f(q)＝M；
2a
bb
若p≤－＜x0，则f(－)＝m，f(q)＝M；
2a2abb
若x0≤－＜q，则f(p)＝M，f(－)＝m；
2a2ab
若－≥q，则f(p)＝M，f(q)＝m.
2a
2．二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0的实根分布及条件
(1)方程f(x)＝0的两根中一根比r大，另一根比r小?a·f(r)＜0. (2)二次方程f(x)＝0的两根都大于r? Δ＝b2－4ac＞0，
??b
?－2a＞r，??a·f（r）＞0.
Δ＝b2－4ac＞0，
?b?p＜－＜q，
2a(3)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内有两根??a·f（q）＞0，??a·f（p）＞0.
(4)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内只有一根?f(p)·f(q)＜0或f(p)＝0(待检验)或f(q)＝0(待
检验)．
?a·f（p）＜0?
(5)方程f(x)＝0两根的一根大于p，另一根小于q(p＜q)??.
?a·f（q）＞0?
3．二次不等式转化策略
(1)二次不等式f(x)＝ax2＋bx＋c≤0的解集是 (－∞，α]∪)?a＜0且f(α)＝f(β)＝0.
bbbα＋?＜?β＋?，当a＜0时，f(α)＜f(β)??α＋?＞(2)当a＞0时，f(α)＜f(β)??2a??2a?2a???
?β＋b?.
2a??
b
bp≤－＜q，?2a?－2a＜p，
(3)当a＞0时，二次不等式f(x)＞0在恒成立??或或
b??f（p）＞0，f（－）＞0，2a
???
b??－2a≥p，? ?f（q）≥0.?
?????a＞0，?a＝b＝0，?a＜0，?a＝b＝0
(4)f(x)＞0恒成立??或?f(x)＜0恒成立??或?
????Δ＜0，c＞0；Δ＜0，c＜0.???? 典型示例·提能力
例1 2 已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)＝x－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，x
求关于x的方程＝|a－1|＋2的根的取值范围．
a＋2
例2 2 已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c和一次函数g(x)＝－bx，其中a、b、c满足a＞b＞c，a＋b＋c＝0，(a，b，c∈R)．
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围．
例3 2 已知关于x的二次方程x＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围．
题组训练·试身手 1.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
2．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则f(m－1)的值与0作比较，结果为________．
3．已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，若在区间内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．
4．二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，则x的取值范围是________．
ty
5．已知实数t满足关系式loga3＝logt3(a＞0且a≠1)．
aa
x
(1)令t＝a，求y＝f(x)的表达式；
(2)若x∈(0，2]时，y有最小值8，求a和x的值．
6.如果二次函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围．
pqr
7．二次函数f(x)＝px2＋qx＋r中实数p、q、r满足＋＋＝0，其中m＞0.求
m＋2m＋1m
证：
m
(1)pf()＜0；
m＋1
(2)方程f(x)＝0在(0，1)内恒有解．
8．一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？