发布时间 : 星期六 文章高三数学二轮复习 专题一 第1讲 集合、常用逻辑用语教案更新完毕开始阅读
【例3】下列命题中是假命题的是
?π?A．?x∈?0，?，x＞sin x
?
2?
B．?x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
C．?x∈R,3＞0 D．?x0∈R，lg x0＝0
[审题导引] 对全称命题与特称命题真假的判定，要结合具体的知识进行，要特别注意思维
的严谨性．
?π?[规范解答] ?x∈?0，?，设单位圆与角x的终边交于点P(m，n)，与m轴正半轴交于
2??点A(1,0)，作PM⊥m轴于M，由正弦函数的定义，知MP＝sin x，?AP的长l＝x，由S扇形OAPx?π?＞S△OAP?x＞sin x，故?x∈?0，?，x＞sin x，即选项A是真命题；sin x＋cos x＝2
2???π?sin?x＋?≤2，
4??
所以不存在x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2，故选项B是假命题．故选B.(事实上，由指数函数的值域?x∈R,3＞0是真命题；取x0＝1，lg x0＝lg 1＝0，故?x0∈R，lg x0＝0是真命题．) [答案]B
【规律总结】
全称命题与特称命题的判断方法
对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立；对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，也就是证明一个一般性的命题成立时，方可证明该命题成立，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立． [易错提示] 注意对数函数、指数函数、三角函数、不等式、方程等知识在解题中的应用，在判断由这些知识组成的全称或者特称命题时，要特别注意对数函数的定义域、指数函数的值域、三角函数的定义域和周期性、不等式成立的条件等． 【变式训练】
1
5．(2012·朝阳二模)若命题p：?x∈R，2＞0，则其否定是_______________．
x＋x＋1
解析 ∵不等式
112
＞0的隐含条件为2＞0且x＋x＋1≠0，
x＋x＋1x＋x＋1
2
x∴綈p：?x∈R，
12
＜0，或x＋x＋1＝0.
x＋x＋1
2
答案 綈p：?x∈R，12
＜0，或x＋x＋1＝0
x＋x＋1
2
?1?x?1?x6．命题p1：?x∈(0，＋∞)，??＜??；p2：?x∈(0,1)，log1x＞log1x；p3：?x∈
?2??3?32?1?x?1??1?x(0，＋∞)，??＞log1x；p4：?x∈?0，?，??＜log1x，其中的真命题是
?2??3??2?32A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
1?1??1?x解析 取x＝，则log1x＝1，log1x＝log32＜1，p2正确；当x∈?0，?时，??＜1，而
2?3??2?32log1x＞1，p4正确．
3答案 D
考点四：充分必要条件
【例4】(1)(2012·黄冈模拟)已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则綈p是q的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件
?x－1?≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若?p是?q(2)(2012·丰台二模)已知p：?1－?3??的充分不必要条件，则实数m的取值范围是
A．(0,9) B．(0,3) C．(0,9] D．(0,3] [审题导引](1)求出綈p与q中x的范围后，再判断； (2)先解p与q中的不等式，然后利用数轴求解． [规范解答](1)?p：x＞1，又易知q：x＜0或x＞1， ∴?p是q的充分不必要条件．
?x－1?≤2得p：－2≤x≤10，
(2)解不等式?1－
3???
又x－2x＋1－m＝[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0， 且m＞0，
∴q：1－m≤x≤1＋m.
∵?p是?q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件．
2
2
1－m＞－2??
由图得?1＋m≤10
??m＞0∴0＜m≤3.
[答案](1)A(2)D 【规律总结】
1－m≥－2??
或?1＋m＜10??m＞0
充分必要条件的判定方法
(1)充要关系的判断就是在两个条件之间互推，当问题为A是B的什么条件时，如果A?B，反之不成立的话，则A是B的充分不必要条件(B是A的必要不充分条件)；如果B?A，反之不成立的话，则A是B的必要不充分条件(B是A的充分不必要条件)；若A?B，则A，B互为充要条件．
(2)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
[易错提示] 充分必要条件的判断应注意问题的设问方式，我们知道：①A是B的充分不必要条件是指：A?B且B?A；②A的充分不必要条件是B是指：B?A且A?B.在解题中一定要弄清它们的区别，以免出现错误． 【变式训练】
7．(2012·咸阳二模)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2
D．a3＞b3
解析 ∵a＞b＋1＞b，∴a＞b＋1是a＞b的充分条件， 但当a＞b时不能推出a＞b＋1，故选A. 答案 A
1
8．(2012·成都模拟)已知p：|x－10|＋|9－x|≥a的解集为R，q：＜1，则綈p是q的
aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 ∵|x－10|＋|9－x|≥1， 且|x－10|＋|9－x|≥a的解集为R， ∴p：a≤1，则?p：a＞1；
1
解不等式＜1，得q：a＜0或a＞1，
a∴?p是q的充分不必要条件．
答案 A
名师押题高考
???x≥0
【押题1】设全集U＝R，集合A＝?x∈Z?
?3－x??
??
?，B＝{x∈Z| x2≤9}，则图中阴影部??
分表示的集合为
A．{1,2} B．{0,1,2} C．{x| 0≤x＜3} D．{x| 0≤x≤3}
解析 图中阴影表示的是A∩B，化简集合：A???x≤0
＝?x∈Z?
?x－3??
??
?＝??
?????xx－3≤0，
?x∈Z??
?x－3≠0????
??
?＝{x∈Z| 0≤x＜3}＝{0,1,2}，B＝{x∈Z| －3≤x≤3}＝??
{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}，故选B.
答案 B
[押题依据] 高考对集合的考查集中在三个方面：集合的表示方法，元素的性质特征与集合的运算．本题与不等式的解法交汇命题、综合性较强．重点考查集合的运算，难度不大，但重点突出，立意新颖，故押此题．
【押题2】已知命题p1：当x，y∈R时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.p2：函
数y＝2x＋2－x在R内为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(?p1)∨p2和q4：
p1∧(?p2)中，真命题是
A．q1，q3 C．q1，q4
B．q2，q3 D．q2，q4
解析 解法一 p1是真命题，事实上：(充分性)若xy≥0，则x，y至少有一个为0或两者同号，∴|x＋y|＝|x|＋|y|一定成立．
2222
(必要性)若|x＋y|＝|x|＋|y|，两边平方，得x＋2xy＋y＝x＋2|xy|＋y，∴xy＝|xy|.∴xy≥0.故p1为真．
11?x1?xx而对于p2：y′＝2ln 2－xln 2＝ln 2?2－x?，当x∈[0，＋∞)时，2≥x，又ln 2＞0，
2?22?
∴y′≥0，函数单调递增；
同理得当x∈(－∞，0)时，函数单调递减，故p2是假命题． 由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C.
解法二 p1是真命题，同解法一．对p2的真假可以取特殊值来判断，如取x1＝1＜x2＝2，517517
得y1＝＜y2＝；取x3＝－1＞x4＝－2，得y3＝＜y4＝，即可得到p2是假命题，由此可知，
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q1真，q2假，q3假，q4真．故选C.
解法三 p1是真命题，同解法一．对p2：由于y＝2＋2≥22·2＝2(等号在x＝0时取得)，故函数在R上有最小值2，故这个函数一定不是单调函数，p2是假命题，由此可知，
x－xx－xq1真，q2假，q3假，q4真．故选C.
答案 C
[押题依据] 常用逻辑用语重要的数学基础知识，是高考考查的热点，本题综合考查了命题的真假判断，充分必要条件及逻辑联结词，题目难度适中，体现了对基础知识，重点知识的考查，故押此题．