发布时间 : 星期五 文章高三数学总复习《函数》专题 - 导数更新完毕开始阅读
高三数学总复习《函数》专题 ———导数问题
一．选择题
1．对于R上可导的任意函数f(x)满足(x?1)f?(x)?0，则（ ）
A. f(0)?f(2)?2f(1) B. f(0)?f(2)?2f(1)
C. f(0)?f(2)?2f(1) D. f(0)?f(2)?2f(1) （状元之路49页）
2．已知曲线y1?x2,y32?x,y3?2sinx，这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C，又设k1、k2、k3分别为以A、B、C为切点且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ） A．k1 3．已知a>0，函数f(x)?x3?ax在[1,??)上是单调增函数，则a的最大值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 （状元之路47页4） 4．已知二次函数f(x)?ax2?bx?c的导数为f?(x),f?(0)?0，对于任意实数x都有f(x)?0，则 f(1)f?(0)的最小值为（ ） A ．3 B． 52 C．2 D．32 （状元之路49页B1） 5．函数f(x)的导函数为f?(x)?5?cosx,x?(?1,1),f(0)?0，若f(1?x)?f(1?x2)?0，则实数x的取值范围是（ ） A．（0，1） B．(1,2) C．(?2,?2) D．(1,2)?(?2,?1) 二．填空题 6．曲线y?1x2与曲线y?x在交点处的切线的夹角为 ． 7．已知f(x)?sinx?2x,x?R,且f(1?a)?f(2a)?0，则a的取值范围是 ． 8．已知函数f (x)=ax3＋bx2，曲线y=f (x)过点P(－1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y=0垂直．若f (x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围 ． 三．解答题 9．已知曲线C21:y?x与C2:y??(x?2)2，求与C1、C2均相切的直线l的方程． 10．函数f(x)?x3?ax2?bx?c，过曲线y?f(x)上的点P(1,f(x))的切线方程为y=3x+1 （1）若y?f(x)在x??2时有极值，求f(x)的表达式； （2）在（1）的条件下，求y?f(x)在[-3，1]上的最大值； （3）若函数y?f(x)在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围． 11．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的 含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线． （1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效． ①求服药一次治疗疾病有效的时间？ ②当t=5时，第二次服药，问t?[5,5116]时，药效是否连续？ 12．设抛物线y=x2与直线y=x＋a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹． 14. 已知函数f(x)?12x2?ax?(a?1)lnx,a?1， （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）证明：若a?5，则对于任意x)?f(x2)1,x2?(0,??),x1?x2,有f(x1x?x??1． 12 15. 已知函数f(x)=－x2+8x, g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由． 参考答案： 一、选择题 CBDCB 4. 提示：f?(0)?b?0，a?0,??b2?4ac?0，可知必有c?0（否则??0），于是 f(1)f?(0)?a?b?cb?1?a?cb?1?2acb?2. 二、填空题 6． 90° ． 7． （-∞，-1）． 8． m≥0或 m≤-3． 三、解答题 9．由y?x2得y??2x，由y??(x?2)2 ，得y???2(x?2)； 设直线l与y?x2的切点为P(x1,y1),与y??(x?2)2的切点为Q(x2,y2) ?y2① ?1?x1?y 2??(x2?2)2② 根据已知条件?? ?2x1??2(x2?2) ③ ?y1?y2? ?x?2x11?x2④ ①+②整理得y1?y2?(x1?x2?2)(x1?x2?2)；由③得x1?x2?2?0； ?y1?y2?0即y2??y1，代入④与①联立可解得x1=0或x1=2 当x1=0时，x2=2；当x1=2时，x2=0； ∴直线l过（0，0）、（2，0）点，或直线过（2，4）、（0，-4）点因此所求直线方 程为y=0或y=4x-4． 10． 解：（1）由f(x)?x3?ax2?bx?c求导数得f?(x)?3x2?2ax?b过y?f(x)上点 P(1,f(1))的切线方程为： y?f(1)?f?(1)(x?1),即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1)， 而过y?f(x)上，P(1,f(1))的切线方程为y?3x?1 故??3?2a?b?3?2a?b?①?a?b?c?2?1 即?0?a?b?c?3 ② ?y?f(x)在x=-2时有极值，故f?(?2)=0 ??4a?b??12 ③ 由①②③式联立解得a?2,b??4,c?5，?f(x)?x3?2x2?4x?5 （2）f?(x)?3x2?2ax?b?3x2?4x?4?(3x?2)(x?2) x [?3?2) -2 (?2,2)23 3 (23,1] f?(x) + 0 — 0 + f(x) ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ f(x)极大?f(?2)?(?2)3?2(?2)2?4(?2)?5?13， f(1)?13?2?1?4?1?5?4，?f(x)在[-3，1]上最大值为13． （3）y?f(x)在区间 [-2，1]上单调递增，又f?(x)?3x2?2ax?b， 由（1）知2a?b?0，?f?(x)?3x2?bx?b 依题意f?(x)在[-2，1]上恒有f?(x)?0,即3x2?bx?b?0在[-2，1]上恒成立． ① 当x?b6?1时，f?(x)小?f?(1)?3?b?b?0，?b?6； ② 当x?b6??2时，f?(x)小?f?(?2)?12?2b?b?0，b不存在； ③当?2?b12b?b26?1时，f?(x)小?12?0，∴0≤b≤6； 综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0． 11．解答：（1）当0≤t≤1时，y=4t， 当t≥1时，y?(1)t?a2，此时M（1，4）在曲线上， ?4?(112)?a,?a?3，这时y?(1t?32)，所以?(0?t?1)y?f(x)??4t???(12)t?3(t?1) ?4t?0.25?1（2）①?f(t)?0.25,即??1?t?1t?3 解得?16 ???(2)?0.25??t?516?t?5 ∴服药一次治疗疾病有效的时间为5?116?41516个小时． ②设t?[5,5116]，5小时第二次服药后，血液中含药量g(t)为：第二次产生的含药量4（t-5） 毫克以及第一次的剩余量(1t?31t?32)毫克，即g(t)=4(t-5)+ (2) 只要证明，当t?[5,5116]时,g(t)≥0.25即可 ?g?(t)?4?(12)t?3ln112?4?(2)t?3ln2，?g?(t)在R上是增函数， ?g?(t)在[5,5116]上有g?(t)?g?(5)?4?(12)2ln2?0， ?g(t)在[5,5116]上是增函数，故g(t)≥g(5)=0.25， ∴当t=5时，第二次服药，t?[5,5116]时，药效连续． 12. 解答：将y=x＋a代入y=x2整数得x2－x－a=0. 为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)2＋4a＞0，所以a＞－ 14；设此两交点为(α，α2)，(β, β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为y=2αx－α2，y=2βx－β2. ?两切线交点为(x，y) ，则 ??x????2 ??y???因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a 由此及②可得x=112，y=－a＜4 从而，所求的轨迹为直线x=12上的y＜14的部分． 13．已知曲线C2n:x2?2nx?y?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn?0)的 切线ln，切点为Pn(xn,yn)． （１）求数列{xn}与{yn}的通项公式； （２）证明：x1?xxn3?x5???x1?2n?1?1?x?2sinxn． nyn13．解：（1）设直线ln：y?kn(x?1)，联立x2?2nx?y2?0得 (1?k2?(2k22??(2k222n)x2n?2n)x?kn?0，则n?2n)2?4(1?kn)kn?0， ∴ kn?n2n?1（?n2n?1舍去） x2k2nn2n?1?k2?2，即xn?n，∴yn2n?1n?kn(xn?1)? n(n?1)n?1n?11?n（2）证明：∵1?xnn?1?1 1?x?n1?n2n?1n?1x1?x3?x5?????x2n?1?132n?112?4?????2n?3?35?????2n?112n?1?2n?1 ∴x1?x3?x5?????x1?xn2n?1?1?x n由于 xn11?xny??x，可令函数f(x)?x?2sinx，则 n2n?11?nf'(x)?1?2cosx，令f'(x)?0，得cosx?22，给定区间(0,?4)，则有f'(x)?0， 故函数f(x)在(0,?4)上单调递减，∴f(x)?f(0)?0，即x?2sinx在(0,?4)恒成立；又 0?12n?1?1?3?4， 则有 1?2sin1，即1?xn?2sinxn2n?12n?11?x. nyn14. 【解析】：（1）f(x)的定义域为(0,??)， f?(x)?x?a?a?1x2?ax?a?1(x?1)[x?(a?1)]x?x?x （i）若a?1?1，即a=2，则f?(x)?(x?1)2x，故f(x)在(0,??)上单调增加． （ii）若a?1?1，而a?1，故1?a?2，则当x?(a?1,1)时，f?(x)?0；当x?(0,a?1)及 x?(1,??)时，f?(x)?0． 故f(x)在(a?1,1)上单调减少，在(0,a?1)，(1,??)上单调增加． （iii）若a?1?1，即a?2， 同理可得f(x)在(1,a?1)上单调减少，在(0,1)，(a?1,??)上单调增加． （2）考虑函数g(x)?f(x)?x?12x2?ax?(a?1)lnx?x， 则g?(x)?x?(a?1)?a?1x?2x?a?1x?(a?1)?1?(a?1?1)2， 由于1?a?5，故g?(x)?0，即g(x)在(0,??)上单调增加，从而当0?x2?x1时， 有g(x1)?g(x2)?0，即f(x1)?f(x2)?x1?x1)?f(x2)2?0，故 f(xx??1； 1?x2当0?x(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1?x2时，有 fx?1)??1． 1?x2x2?x1 【评注】注意第（2）问根据所证结论，巧妙构造函数的技巧！ 15. 解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16, 当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7; 当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16; 当t>4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，h(t)=f(x)=－t2+8t . ??t2?6t?7,t<3, 综上，h(t)=??16, ?3≤t≤4, ??t2?8t,t>4 （II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数??x??g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∴??x??x ? －8x+6ln x+m, ∵??(x)?2x?8?62x2?8x?6x?x?2(x?1)(x?3)x(x?0), 当x∈(0,1)时，??(x)??，??x?是增函数；当x∈(1,3)时，??(x)??，??x?是减函数；?当x∈(3,+∞)时，??(x)??，??x?是增函数；当x=1或x=3时，???(x)??；?∴??x?极大值???1??m－7,???x?极小值???3??m+6ln 3－15.?∵当x充分接近?时，??x???，当x充分大时，??x?>0. ∴要使??x?的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 ???(x)极大值?m?7?0,??(x) 解得7 为（7，15—6ln 3）.