中考数学压轴题专题汇编 动点问题解析

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中考数学压轴题专题汇编

动点问题解析

1. 如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,﹣1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于

B,C两点(点B在C的左侧),已知A点坐标为(0,3).(1)求此抛物线的解析式。(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积.

2

◆满分解答:(1)设抛物线为y=a(x﹣4)﹣1,

∵抛物线经过点A(0,3),∴3=a(0﹣4)﹣1,∴抛物线为

(2)相交.

证明:连接CE,则CE⊥BD, 当

时,x1=2,x2=6.

2

;(3分)

A(0,3),B(2,0),C(6,0),对称轴x=4,

∴OB=2,AB==,BC=4,

∵AB⊥BD,∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°, ∴△AOB∽△BEC, ∴

=

,即

=

,解得CE=

,∵

>2,∴抛物线的对称轴l与⊙C相

交.(7分)

(3)如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;可求出AC的解析式为

;(8分)

设P点的坐标为(m,

2

),则Q点的坐标为(m,

2

);

∴PQ=﹣m+3﹣(m﹣2m+3)=﹣m+m.

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(﹣m+m)×6=﹣(m﹣3)+∴当m=3时,△PAC的面积最大为

2

2

;此时,P点的坐标为(3,?3).(10分) 41

2. 如图

1,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两

点,点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O—C—B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.

(1)点C的坐标为____________,直线l的解析式为____________;

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围. (3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大?最大值是多少?

4◆满分解答:(1)点C的坐标为(3,4),直线l的解析式为: y?x图1

0<t≤5243(2)①当M在OC上,Q在AB上时,在Rt△OPM中,OP=t,tan?OMP?3,所

4以PM?t.

336,所以AE?t. 55121661于是PE?8?t?t?8?t.因此S?PE?PM?t2?t.

2153555②当M在OC上,Q在BC上时,<t≤3.

2因为.因此BQ?2t?5,所以PF?11?t?(2t?5)?16?3t132S?PF?PM??2t2?t.

2316③当M、Q相遇时,根据P、Q的路程和t?2t?11?5,解得t?.

316因此当M、Q都在BC上,相遇前,3<t≤,PM=4,MQ?16?t?2t?16?3t.

31所以S?MQ?PM??6t?32.

2在Rt△AQE中,AQ=2t,cos?QAE?图2 图3 图4

52162160(3)①当0<t≤时,S?t2?t?(t?20)2?.

2153153因为抛物线开口向上,在对称轴右侧,S随t的增大而增大,所以当t?5时,S最大,22

85. 65328128②当<t≤3时,S??2t2?t??2(t?)2?.因为抛物线开口向下,所以当

23398128161.③当3<t≤时,S?MQ?PM??6t?32.因为S随tt?时,S最大,最大值为

39328的增大而减小,所以当t?3时,S最大,最大值为14.综上所述,当t?时,S最大,最

3128大值为.

9最大值为

◆考点伸展:第(2)题中,M、Q

的?

此时

从相遇到运动结束,S关于t的函数关系式是怎样

16131<t≤, MQ?t?2t?16?3t?16.因此S?MQ?PM?6t?32. 322

◆强化训练

1. 如图1,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,点O为坐标原点.甲沿AO方向、乙

沿BO方向均以每小时4千米的速度行走,t小时后,甲到达M点,乙到达N点.

(1)请说明甲、乙两人到达点O前,MN与AB不可能平行; (2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长.设s=MN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值.

图1

3

2. 如图1, △ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y??3x?34的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数y?12x?bx?c的图像上,且该二次函数图8像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.

(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;

(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?

图1

3. 在正方形

ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线

DC,CB上移动.(1)如图Z10-6①,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和

DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由;(2)如图Z10-6②,当E,F分

别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)(3)如图Z10-6③,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移

动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(4)如图Z10-6④,当E,F分

别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.

① ② ③ ④

图Z10-6

4

4. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点,

与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合).

(1)求∠OBC的度数;

(2)连接CD、BD、DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE=S四边形OCDB,求此时P点的坐标;

(3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值.

5. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y?ax2?bx?3(a?0)与

(?2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.

x轴交于点A(1)求抛物线的解析式;点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最多面积是多少?

(2)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK:S△PBQ?5:2,求K点坐标.

C A O P B x y Q

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