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一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
例3. 设等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0 。
①.求公差d的取值范围； ②.指出S1、S2、?、S12中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)
【分析】 ①问利用公式an与Sn建立不等式，容易求解d的范围；②问利用Sn是n的二次函数，将Sn中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时Sn取最大值的函数最值问题。
【解】① 由a3＝a1＋2d＝12,得到a1＝12－2d，所以 S12＝12a1＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0， S13＝13a1＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
24 解得：－ 711② Sn＝na1＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d 221242d1242d＝[n－(5－)]－[(5－)] 2dd2221242241241242因为d<0，故[n－(5－)]最小时，Sn最大。由－ 2d72d2d最小，所以S6最大。 【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。 本题的另一种思路是寻求an>0、an?1<0 ，即：由d<0知道a1>a2>?>a13，由S13＝13a7<0得a7<0，由S12＝6(a6＋a7)>0得a6>0。所以，在S1、S2、?、S12中，S6的值最大。 例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。 【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H， 设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。 P ∴MD 2＝x 2＋[(2r－x)sinθ] 2＝(sin 2＋1)x 2－4rsin 2θx＋4r 2sin 2θ M A H B D C 2rsinθ24rsinθ]＋ 1?sin2θ1?sin2θ2rsinθ2rsin2θ即当x＝时，MD取最小值 1?sin2θ1?sin2θ＝(sin 2222θ＋1)[x－ 为两异面直线的距离。 【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函 数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。 例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA2tgC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4及三内角。 【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。 【解】 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°； 由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA2tgB2tgC，得 33,求△ABC的三边a、b、c 3 (1＋3) 2设tgA、tgC是方程x－(3＋3)x＋2＋3＝0的两根，解得x1＝1，x2＝2＋3 π5π设A 4126，c＝43＋4。 由此容易得到a＝8，b＝4 tgA＋tgC＝tgB(tgA2tgC－1)＝ 37 38 【注】本题的解答关键是利用“△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA2tgB2tgC”这一条性质得到tgA＋tgC，从而设立方程求出tgA和tgC的值，使问题得到解决。 例6. 若(z－x) 2 －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。 【分析】 观察题设，发现正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。 【证明】 当x＝y时，可得x＝z， ∴x、y、z成等差数列； 当x≠y时，设方程(x－y)t 22－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t1＝t2，并易知t＝1是方程的根。 ∴t12t2＝ y?z＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差数列 x?y2【注】一般地，题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了“x1＋x2＝a、x12x2＝b”的形式，则可以利用根与系数的关系构造方程；如果具备b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可以利用根的判别式构造一元二次方程。这种方法使得非方程问题用方程思想来解决，体现了一定的技巧性，也是解题基本方法中的一种“构造法”。 例7. △ABC中，求证：cosA2cosB2cosC≤ 21 。 8【分析】考虑首先使用三角公式进行变形，结合三角形中有关的性质和定理，主要是运用“三角形的内角和为180°”。变形后再通过观察式子的特点而选择和发现最合适的方法解决。 【证明】 设k＝cosA2cosB2cosC＝ 11[cos(A＋B)＋cos(A－B)]2cosC＝[－cosC＋cos(A－B)]cosC 222(A－B)≤1 整理得：cos∴ △＝cos∴ k≤ 22C－cos(A－B)2cosC＋2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。 (A－B)－8k≥0 即 8k≤cos 11即cosA2cosB2cosC≤ 88【注】本题原本是三角问题，引入参数后，通过三角变形，发现了其等式具有“二次”特点，于是联想了一元二次方程，将问题变成代数中的 方程有实解的问题，这既是“方程思想”，也体现了“判别式法”、“参数法”。 1[cos(A＋B)＋cos(A－B)]2cosC 2cos(A?B)2121211121＝－cosC＋cos(A－B)2cosC＝－ [cosC－]＋cos(A－B)≤cos(A－B) ≤。 22288821?2x?4xa例8. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。 31?2x?4xaxx【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 3此题的另外一种思路是使用“放缩法”,在放缩过程中也体现了“配方法”，具体解答过程是：cosA2cosB2cosC＝【解】 由题设可知，不等式1＋2即：( x＋4 xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立， 12x1x)＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。 221x112设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－ 2221112132∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－ 222243所以a的取值范围是a>－。 4【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。 38 39 12x1x1x1)＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝(), t≥，则有a＝2222332－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是a>－。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思 44在解决不等式( 想”。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知函数f(x)＝|2 x－1|，a A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 23. 已知函数f(x)＝loga(xA. ?a<2 c D. 2 a＋2 c<2 2－4x＋8)， x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。 1 B. 1 C. 2 D. 4 24n→∞ 4.已知{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，Sn＝a1＋a2＋?＋an，那么 A. 8 B. 16 C. 32 D. 48 5.等差数列{an}中，a4＝84，前n项和为Sn,已知S9>0，S10<0，则当n＝______时，Sn最大。 6. 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x7.若关于x的方程|x lim Sn等于_____。 2＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是________。 2－6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________。 8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围。 9.已知实数x、y、z满足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。 10.已知lg 22a－42lga2lgb＝0，求证：b是a、c的等比中项。 cbc2α＋cos 11.设α、β、γ均为锐角，且cos12.当p为何值时，曲线y 2β＋cos 2γ＋2cosα2cosβ2cosγ＝1，求证：α＋β＋γ＝π 。 2＝2px (p>0)与椭圆 1p)2＋y2＝1有四个交点。(88年全国高考) (x―2―4213.已知关于x的实系数二次方程x＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明： ①. 如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4＋b且|b|<4； ②. 如果2|a|<4＋b且|b|<4，那么|α|<2，|β|<2 。 （93年全国理） 14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x 22。 ①.求f(x) 在Ik上的解析表达式； ②.对自然数k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根}。 （89年全国理） 四、等价转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式?等；或者比较难以解 39 40 决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 Ⅰ、再现性题组： 1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 2.设f(x)＝3x－2，则f A. ?1[f(x)]等于______。 1x?8 B. 9x－8 C. x D. 3x?292＋n 3. 若m、n、p、q∈R且m 2＝a，p 2＋q 2＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。 a?ba2?b2 A. B. ab C. 22 A. 1 B. D. ab a?b4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。 2 C. 2 D. 5 y2x22215. 设椭圆＋＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于c，则椭圆的离心率为_____。 a2b271132 A. B. C. D. 42326. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。 A. 253515 B. 10 C. D. 222n2?q2＋ 2【简解】1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B； 2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C； m2?p23小题：由mp＋nq≤ 25小题：ab＝ 容易求解，选A； 4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A； 221c3a2?b2，变形为12e4－31e2＋7＝0，再解出e，选B； 716小题：由S?ADE＝S和三棱椎的等体积转化容易求，选A。 4?ABCⅡ、示范性题组： 例1. 若x、y、z∈R ?且x＋y＋z＝1，求( 1x－1)( 1y－1)( 1z－1)的最小值。 【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。 【解】( 1x－1)( 1y－1)( 11－1)＝zxyz（1－x）(1－y)(1－z) ＝ 11(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝ xyzxyz1x＋ (xy＋yz＋zx－xyz) ＝ 1y＋ 1z－1≥331xyz3－1＝ 3xyz－1≥ 3x?y?z3－1＝9 40