高职高专高等数学教案

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x?asint;当被积函数含有a?x,可进行代换x?atant;当被积函数含有x?a, 可进行代换x?asect。它还是第二换元法的重要组成部分。但在具体解题时还要有具体分 析,有时用凑微分法更好。 5、分部积分法(课件展示) 强调:不定积分?f(x)dx求的是f(x)的一切原函数,而f(x)的任何两个原函数之间相(10分钟) 差一个常数。也正是由于这个缘故,才会出现同一函数的两个原函数在形式上有很大的差 异。但是,不管所求原函数的形式如何,其导数都必须是被积函数。 二、典型例题 例1 利用第一换元积分法求下列函数的不定积分。 (20分钟) x21dx; (1)?(2)?2xedx;(3)?x1?x2dx; 3x?1 3xdxe dx; (4)?;(5)?xlnxx 讲解:略 点评:本部分习题考察学生对于第一换元积分法的运用。 例2利用第二换元法求下列函数的不定积分 (15分钟) 1x?1(1)?(2)?(3)?a2?x2dx(a?0)。 dx;dx; xx?2x?3x 点评:本部分内容考察学生对于第二换元法的运用。 例3利用分部积分法求下列函数的不定积分 (10分钟) (1)xcosxdx;(2)x2exdx; 2222??(3)x3lnxdx; ?点评:本部分内容考察学生对于分部积分法的运用。 思考题、作业题、讨论题: 作业题: 复习题五 P82. 3. 4 . 5. 课后总结分析:

第7次课 学时 2 授课题目(章,节) 授课类型(请打√) 第六章 不定积分 §1定积分的概念及性质 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的: 1、正确理解定积分的概念; 2、会利用积分的概念求函数的定积分。 教学方法、手段: 讲授法,板书,课件展示。 教学重点、难点: 重点:定积分; 难点:会用定积分的概念求函数的定积分。 教学内容及过程设计 一、引入新课 给出一个实例曲边梯形的图形,求曲边梯形的面积。 y x o x上述问题的讲解和分析,求曲边梯形面积, 总结:可按以下四个步骤进行: (1)分割:。 (2)取近似: (3)求和: (4)取极限: 由此可见,求曲边梯形的面积可以归结为求和式的极限。 设计思路:通过例题的分析和讲解,吸引学生们的学习兴趣,引出定积分的概念。 二、讲授新课 1、定积分的概念 课件展示:定积分的概念。 注意: (1)所谓和式极限lim?f(?i)?xi存在,是指其极限值与[a,b]的分割和点?i的取法?x?0i?1n补充内容和时间分配 (20分钟) (20分钟) x x均无关。 (2)定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即 bbb?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du。 (3)和?f(?i)?xi通常称为f(x)的积分和。 i?1n (5)闭区间上的连续函数或只有有限个第一类间断点的函数是可积的。 (6)定积分定义中要求积分限a?b,为此,补充如下规定: b①当a?b时,?af(x)dx?0; ba②当a?b时,?af(x)dx???bf(x)dx。 2、定积分的几何意义 y (15分钟) (?)A2 (?)Ao (?)A1 x 3 从以上所讲的概念和上面的图形中,可知:在区间[a,b]上,当f(x)?0时,积分 b?af(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x)、两条直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的 面积,即 b ?af(x)dx?A, b在区间[a,b]上,若f(x)?0时,则?af(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x)、两条直线x?a、 x?b与x轴所围成的曲边梯形(在x轴下方)面积的相反数,即 b ?af(x)dx??A。 b在区间[a,b]上,若f(x)有正有负,则?f(x)dx在几何上表示曲线y?f(x)在x轴的上 a 方部分和x轴的下方部分“带号面积”(规定:位于x轴下方的图形的带号面积为负,其绝 对值等于该图形的面积;位于x轴上方的图形的带号面积为正,其数值等于该图形的面积) 的代数和。如上图,有 b ?af(x)dx?A2?A1?A3。 3、定积分的性质 根据以上对定积分概念及定积分几何意义的讲解,总结得出定积分的如下性质。 课件展示:定积分的性质。 (15分钟) 注意:不论a?b,还是a?b,积分中值公式都成立。 设计思路:讲练结合,通过例题的讲解,习题的练习,让学生们利用定积分的性质求 函数的定积分,加强学生们对定积分及定积分的性质的理解。 三、课堂练习 练习题: 1(10分钟) 1、 用定积分的定义计算?x2dx。 0 (4)如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在,就说f(x)在区间[a,b]上可积。

2、 估计定积分?1x4dx的值。 21四、课堂小结 本次课程的内容有:定积分的概念;定积分的几何意义;定积分的性质。 (10分钟) 思考题、作业题、讨论题: 作业题: P87. 6.1 1. 3. 课后总结分析:

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