发布时间 : 星期二 文章高考必胜高考数学必胜秘诀在哪――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结更新完毕开始阅读
(2)代换(配凑)法――已知形如f(g(x))的表达式,求f(x)的表达式。如(1)已知f(1?cosx)?sin2x,求fx2的解析式(答:f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]);(2)若f(x???11)?x2?2,则函数f(x?1)=_____(答:x2?2x?3);(3)若函数f(x)是xx定义在R上的奇函数,且当x?(0,??)时,f(x)?x(1?3x),那么当x?(??,0)时,
f(x)=________(答:x(1?3x)). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,
即f(x)的定义域应是g(x)的值域。
(3)方程的思想――已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如(1)已知
,求f(x)的解析式(答:f(x)??3x?f(x)?2f(?x)?3x?22);(2)已知f(x)是奇3函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=
x1,则f(x)= __(答:2)。 x?1x?18. 反函数:
(1)存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值,都有唯一的x值与之对应,故单调函数一定存在反函数,但反之不成立;偶函数只有f(x)?0(x?{0})有反函数;周期函数一定不存在反函数。如函数y?x?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、a????,1 B、a?2,??? C、a?[1,2] D、a????,1?2,??? (答:D)
(2)求反函数的步骤:①反求x;②互换 x、y;③注明反函数的定义域(原来函数的值域)。注意函数y?f(x?1)的反函数不是y?f?1(x?1),而是y?f?1(x)?1。如设
x?12)(x?0).求f(x)的反函数fx?12????f(x)?((x)(答:
f?1(x)?1(x?1)). x?1(3)反函数的性质:
①反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ,其中a≠ 0 ,若f(x)的反函数f?1(x)的定义域为
?14?,? ,则f(x)的定义域是____________(答:[4,7]). ??aa?当前第 5 页共76页
②函数y?f(x)的图象与其反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称,注意函数
y?f(x)的图象与x?f?1(y)的图象相同。如(1)已知函数y?f(x)的图象过点(1,1),那
么f?4?x?的反函数的图象一定经过点_____(答:(1,3));(2)已知函数f(x)?2x?3,x?1若函数y?g(x)与y?f?17; (x?1)的图象关于直线y?x对称,求g(3)的值(答:)24则方程f?1(x)?4的?2),
x③f(a)?b?f?1(b)?a。如(1)已知函数f(x)?log3(解x?______(答:1);(2)设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数f?1(x),f (4)=0,则f?1(4)= (答:-2)
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知f?x?是R上的增函数,点A??1,1?,B?1,3?在它的图象上,f?1?x?是它的反函数,那么不等式f?1?log2x??1的解集为________(答:(2,8));
⑤设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f?1(x)]?x(x?B),f?1[f(x)]?x
(x?A),但f[f?1(x)]?f?1[f(x)]。
9.函数的奇偶性。
(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数f(x)?2sin(3x??), ; x?[2??5?,3?]为奇函数,其中??(0,2?),则???的值是 (答:0)
(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断
其奇偶性):
①定义法:如判断函数y?|x?4|?49?x2的奇偶性____(答:奇函数)。
②利用函数奇偶性定义的等价形式:f(x)?f(?x)?0或
f(?x)??1(f(x)?0)。如判f(x)断f(x)?x(11?)的奇偶性___.(答:偶函数) 2x?12③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称。 (3)函数奇偶性的性质:
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①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数.
③若f(x)为偶函数,则f(?x)?f(x)?f(|x|).如若定义在R上的偶函数f(x)在
1(??,0)上是减函数,且f()=2,则不等式f(log1x)?2的解集为______.(答:
38(0,0.5)?(2,??))
④若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)为奇函数的既
a·2x?a?2不充分也不必要条件。如若f(x)?为奇函数,则实数a=____(答:1). x2?1⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。如设f(x)是定义域为R的任一函数, F(x)?f(x)?f(?x),
2G(x)?f(x)?f(?x)。①判断F(x)与G(x)的奇偶性; ②若将函数f(x)?lg(10x?1),
2表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,则g(x)=____(答:①F(x)为偶函数,
G(x)为奇函数;②g(x)=
1x) 2⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(f(x)?0,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 10.函数的单调性。
(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法:
①在解答题中常用:定义法(取值――作差――变形――定号)、导数法(在区间(a,b)内,若总有f?(x)?0,则f(x)为增函数;反之,若f(x)在区间(a,b)内为增函数,则
3请注意两者的区别所在。如已知函数f(x)?x?ax在区间[1,??)上是增函数,f?(x)?0,
则a的取值范围是____(答:(0,3]));
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意y?ax?b(a?0 x当前第 7 页共76页
增区间为(??,?b?0)型函数的图象和单调性在解题中的运用:
bb],[,??),减区间为aa[?bb,0),(0,].如(1)若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2 在区间(-∞,4] 上是减函aaax?1在区x?2数,那么实数a的取值范围是______(答:a??3));(2)已知函数f(x)?间??2,???上为增函数,则实数a的取值范围_____(答:(,??));(3)若函数
12a??f?x??loga?x??4??a?0,且a?1?的值域为R,则实数a的取值范围是______(答:
x??0?a?4且a?1));
③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减,如函数y?log1?x2?2x的单
2??调递增区间是________(答:(1,2))。
(2)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,如若函数f(x)?loga(x2?ax?3)在区间(??,]上为减函数,求a的取值范围(答:(1,23));二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“?”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示.
(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数范围).如已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0,求
a2实数m的取值范围。(答:?11. 常见的图象变换
12?m?) 23①函数y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移a个单
?x位得到的。如设f(x)?2,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y?x对称,h(x)的图像
由g(x)的图像向右平移1个单位得到,则h(x)为__________(答: h(x)??log2(x?1))
②函数y?f?x?a?((a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。如(1)若f(x?199)?4x?4x?3,则函数f(x)的最小值为____(答:2);(2)要得到y?lg(3?x)的图像,只需作y?lgx关于_____轴对称的图像,再向____平移3个
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