发布时间 : 星期三 文章《概率论》第二章习题更新完毕开始阅读
同理可证 P(AC)?P(A)P(C),
P(BC)?P(B)P(C).
又有
P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)
?1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?
?1?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?
?P(A)P(B)P(C)
?(1?P(A))(1?P(B))(1?P(C))?P(A)P(B)P(C)，
所以A,B,C相互独立。
18、证明：事件A1,A2,?,An相互独立的充要条件是下列2n个等式成立：
?A???)P(A?)?P(A?)， P(A12?An)?P(A12n?取A或A。 其中Aiii?取证：必要性。事件A1,A2,?,An相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m个集AiAi的形式。当m?1时，
P(A1A2?An)?P(A2?An)?P(A1?An)?P(A1?An)
?P(A2)?P(An)?P(A1)?p(An)?P(A1)P(A2)?P(An)。
设当m?k时有
P(A1?AkAk?1?An)?P(A1)?P(Ak)P(Ak?1?An),
则当m?k?1时
P(A1?Ak?1Ak?2?An)?P(A1?AkAk?2?An)?P(A1?AkAk?1?An)
?P(A1)?P(Ak)P(Ak?2)?P(An)?P(A1)?P(Ak)P(Ak?1)?P(An) ?P(A1)?P(Ak)(1?P(Ak?1))P(Ak?2)?P(An) ?P(A1)?P(Ak)P(Ak?1)P(Ak?2)?P(An)
从而有下列2n式成立：
?A???)P(A?)?P(A?), P(A12?An)?P(A12n《概率论》第二章习题
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?取A或A。 其中Aiii 充分性。设题中条件成立，则
P(A1?An)?P(A1)?P(An), (1)
P(A1?An?1An)?P(A1)?P(An?1)P(An). (2)
∵ A1?An?1An?A1?An?1An??,
∴ P(A1?An?1)?P(A1?An?1An?A1?An?1An).
(1)+(2)得 P(A1?An?1)?P(A1)?P(An?1)。 (3)
同理有
P(A1?An?2An?1An)?P(A1)?P(An?2)P(An?1)P(An),
P(A1?An?2An?1An)?P(A1)?P(An?2)P(An?1)P(An)
两式相加得
P(A1?An?2An?1)?P(A1)?P(An?2)P(An?1). （4）
(3)+(4)得
P(A1?An?2)?P(A1)P(A2)?P(An?2)。
同类似方法可证得独立性定义中2?n?1个式子，
∴ A1,?,An相互独立。
19、若A与B独立，证明{?,A,A,?}中任何一个事件与{?,B,B,?}中任何一个事件是相互独立的。 证：P(??)?P(?)?0?0?P(?)P(?),
P(??)?0?P(?)P(?),P(??)?1?P(?)P(?), P(?B)?P(B)?P(?)P(B), P(?A)?P(A)?P(?)P(A),
P(AB)?P(A)P(B)（见本章第17题），
P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B) ?P(A)(1?P(B))?P(A)P(B)， 同理可得 P(AB)?P(A)P(B)。证毕。
20、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求（1）
《概率论》第二章习题 - 10 -
n在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。 解：P{三次射击恰击中目标一次}=
?0.4(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)0.5(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)0.7 ?0.36
P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次}
?1?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.91
21、设A1,A2,?,An相互独立，而P(Ak)?pk，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件
中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。 解：（1）P{所有的事件全不发生}?P{A1?An} ?P(A1)?P(An)? （2）P{至少发生其一}?P(A1???An)
P(A1?An)?1?P(A1?An)?1??(1?pk?1nk)。
?(1?pk?1nn)。
（3）P{恰好发生其一}?p1(1?p2)?(1?pn)?(1?p1)p2(1?p3)?(1?pn)? ???(1?p1)?(1?pn?1)pn ??pi?1ni?2n?j?i?1?pipj???(?1)n?1n?pi。
i?1n22、当元件k或元件k1或k2都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2
发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。
解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记A0={元件k发生故障}，A1={元件k1发生故障}，
A2={元件k2发生故障}。则
P{电路断开}?P(A0?A1A2)?P(A0)?P(A1A2)?P(A0A1A2) ?0.3?0.2?0.2?0.3?0.2?0.2?0.328。 23、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。
解：以Ak表事件“A于第k次试验中出现”，P(Ak)??，由试验的独立性得，前n次试验中A都不出现的概率为
P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An)?(1??)n。
于是前n次试验中，A至少发生一次的概率为
《概率论》第二章习题 - 11 -
1?P(A1A2?An)?1?(1??)n?1(n??)。
这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而
可看成是必然要发生的。
24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，
第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。 解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得
P{所有零件均为一级品}?0.83?0.72?0.2509。
25、实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的，若某次发现产生了2n个细菌，求（1）
至少有一个甲类细菌的概率；（2）甲，乙两类细菌各占其半的概率。 解：利用的二项分布可得
P{至少有一个甲类细菌}?1?P{2n个全是乙类细菌}
0?1??1??1?C20?????2??2?n02n?1?2?2n。
n2n?1??1?n?1?P{甲，乙两类细菌各占一半}?C?????C2n??。 ?2??2??2?n2n26、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两
次正面。 解：利用二项分布得
P{至少出现一次正面}?1?P{n次全部出现反面}?1?(1?p)n。
1P{至少出现两次正面}?1?(1?p)n?Cnp(1?p)n?1?1?(1?p)n?np(1?p)n?1。
27、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优
胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？ 解：（1）设A，B，C分别表示每局比赛中甲，乙、丙获胜的事件，故P(A)?P(B)?P(C)?1的多3项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为
3!?1??1??1?3!?1??1??1?p??????????????3!0!0!?3??3??3?2!1!0!?3??3??3?30020?1????。 ?3?28、甲，乙均有n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。 解：利用两个的二项分布，得欲求的概率为
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