发布时间 : 星期五 文章指数函数及对数函数复习（有详细知识点及习题详细讲解）更新完毕开始阅读
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指数函数与对数函数总结与练习
一、指数的性质 （一）整数指数幂
n1．整数指数幂概念： a?a??a????a (n?N) a0?1?a?0? ????n个a a?n?1a?0,n?N?? n?a2．整数指数幂的运算性质：（1）am?an?am?n?m,n?Z? （2）a（3）?ab??a?bnnn??mn?amn?m,n?Z?
?n?Z?
其中a?a?a?amnm?nan?a?m?n?1nn?n?a， ????a?b??a?b?n．
b?b?n3．a的n次方根的概念 即： 若x
n一般地，如果一个数的n次方等于an?1,n?N?，那么这个数叫做a的n次方根，
?a，则x叫做a的n次方根， ?n?1,n?N?
???说明：①若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若a?0则na?0，若a?o则na?0；
②若n是偶数，且a?0则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：
?na；（例如：8的平方根?8??22 16的4次方根?416??2）
③若n是偶数，且a?0则na没意义，即负数没有偶次方根； ④?0?0n?1,n?Nnn??? ∴n0?0；
⑤式子a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 ∴
?a?nn?a．
．
4．a的n次方根的性质
一般地，若n是奇数，则nan?a； 若n是偶数，则nan?a??5．例题分析：
例1．求下列各式的值： （1）3?8
?a??aa?0a?0．
?3? （2）??10??2 （3）4?3??? （4）
4例2．已知a?b?0, n?1,n?N， 化简：n?a?b??n?a?b?．
nn（二）分数指数幂
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1051231．分数指数幂：
5a?a?a102?a?0?
3a?a?a124?a?0?
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）a3??kn?akn对分数指数幂也适用，
442255?3?4?2???2532例如：若a?0，则?a3??a3?a，?a4??a4?a， ∴a?a3
????a?a．
545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是a? （2）正数的负分数指数幂的意义是am?nmnnam?a?0,m,n?N?,n?1?；
1amn??1nam?a?0,m,n?N,n?1?．
?2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即
?1?aras?ar?s?a?0,r,s?Q??3??ab?r
??Q?2??ar??ars?a?0,r,ss?arbr?a?0b,?0r,?Q?
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
3．例题分析：
例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式?a?o?： a?a， a3?3a2， aa.
例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
3115111????2?????（1）?2a3b2???6a2b3????3a6b6?； （2）?m4n8?；
????????82
例3．计算下列各式： （1）
?35?125?5 （2）?4a2aa32?a?0?．
（三）综合应用
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例1．化简：5
x?1?5x?5x?1.
例2．化简：(x?y)?(x?y).
例3．已知x?x
?112121414（1）x?x；（2）x?x. ?3，求下列各式的值：
12?1232?32二、指数函数
1．指数函数定义：
一般地，函数y?a（a?0且a?1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．
x2．指数函数y?a在底数a?1及0?a?1这两种情况下的图象和性质：
xa?1 0?a?1 图象 性质 （1）定义域：R （2）值域：(0,??) （3）过点(0,1)，即x?0时y?1 （4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数
例1．求下列函数的定义域、值域： （1）y?8
12x?1 （2）y?1?()x （3）y?312?x
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ax?1例2．当a?1时，证明函数y?x 是奇函数。
a?1
例3．设a是实数，f(x)?a?2(x?R)， x2?1（1）试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数； （2）试确定a的值，使f(x)为奇函数。
三、对数的性质
1．对数定义：一般地，如果a（a?0且a?1）的b次幂等于N, 就是ab?N，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 logaN?b，a叫做对数的底数，N叫做真数。
b即a?N， logaN?b
指数式ab?N 对数式logaN?b a 底数 对数的底数 N 幂 真数 b 指数 对数
说明：1．?在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）
2．?对任意 a?0且 a?1, 都有 a?1 ∴loga1?0，同样：logaa?1．
b3．如果把a?N中的b写成logaN， 则有 a0logaN?N（对数恒等式）．
3．介绍两种特殊的对数：
①常用对数：以10作底 log10例2．（1）计算：
N 写成 lgN
logeN 写成 lne．
②自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828…… ，
log927，
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