发布时间 : 星期五 文章2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.1.1数系的扩充与复数概念更新完毕开始阅读
3．1.1 数系的扩充与复数概念
填一填 1.复数
(1)定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
2．复数集
(1)定义：全体复数所成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示． 3．两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定： a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 4．复数的分类
?实数?b＝0?
?纯虚数?a＝0?(1)复数(a＋bi，a，b∈R)??
虚数?b≠0??
???非纯虚数?a≠0?
(2)集合表示：
判一判 1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(×) 解析：当b＝0时，z是实数，故错误． 2．复数z＝bi是纯虚数．(×)
解析：当b＝0时，z是实数，故错误．
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√) 解析：由复数相等的充要条件可知正确． 4．－1没有平方根．(×)
解析：－1的平方根为±i，所以错．
5．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i.(×)
解析：由于两个虚数不能比较大小，所以错．
6．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1.(×)
解析：由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故错误．
想一想 1.复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？ 提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m，n才是该复数的实部、虚部． 2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，它的虚部是b还是bi? 提示：虚部为b.
3．复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？ 提示：当b＝0时z表示实数．
4．复数集C与实数集R之间有什么关系？
提示：R是C的真子集．
5．我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？ 提示：它的实部和虚部都是0.
6．a＝0是z＝a＋bi为纯虚数的充要条件吗？
提示：不是．因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
1
7．z1＝3＋2i，z2＝－3i，z3＝－0.5i，则z1，z2，z3的实部和虚部各是什么？能否说z1>z2?
2
1
提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为，虚部为－3；z3的实部为0，虚部为－0.5，
2因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z1>z2.
8．若(a－2)＋bi>0，则a，b应满足什么条件？
??b＝0，
提示：要使(a－2)＋bi>0成立，则(a－2)＋bi应为实数，且a－2>0，即?故
??a－2>0，??a>2，
?
??b＝0.
思考感悟：
练一练
1．给出下列四个命题： ①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等；④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题．对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题．对于③，复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③为假命题．对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题．
答案：A
2．下列命题：
①1＋i2＝0；②若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；③两个虚数不能比较大小． 是真命题的为________．(填序号)
解析：②当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以②错．所以①③正确． 答案：①③
m2－m－6
3．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________
m＋3
时，z为纯虚数．
m－m－6??m＋3＝0，
解析：由题意知?
??m－2m－15≠0，
22
解得m＝3或－2.
答案：3或－2