发布时间 : 星期日 文章高等数学期末复习- 多元函数微分学更新完毕开始阅读
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43、设方程xy?z?sinz?0确定了二元函数z(x,y)，则
?z? ; ?x解：y??z?z?zyy?cosz?0??，所以填。（内容要求11） ?x?x?xcosz?1cosz?12244、设函数f(x,y)??x?y?2y?2013，则 ( )．
(A) (0,1)不是f(x,y)的驻点 (B) (0,1)是f(x,y)的驻点，但非极值点 (C) (0,1)是f(x,y)的极小值点 (D) (0,1)是f(x,y)的极大值点
??(x,y)??2,fxy??(x,y)?0,fyy??(x,y)??2 解：fx?(x,y)??2x,fy?(x,y)??2y?2,fxx因为(0,1)满足fx?(x,y)?0，fy?(x,y)?0，所以是驻点，又
??(0,1)??2,B?fxy??(0,1)?0,C?fyy??(0,1)??2 A?fxx有A?0,AC?B?0，(0,1)是f(x,y)的极大值点。故选D。（内容要求12） 45、设z?x?3x?y，则它在点(1,0)处( )
A.取得极大值 B.无极值
C.取得极小值 D.无法判断是否有极值 解：
32?z?z?3x2?3,??1，所以z?x3?3x?y无驻点，不存在偏导数不存的点，故选B。?x?y（内容要求12）
46、设z?4(x?y)?x?y，则它在点(2，-2)处( ) A.取得极大值 B.无极值
C.取得极小值 D.无法判断是否有极值
22?z?z?2z?2z?2z?4?2x,??4?2y,2??2,?0,2??2，故选A。解：（内容要求12） ?x?y?x?x?y?y47、 函数f(x,y)?x?4y?2x在驻点(1,0)处 ( ) (A) 取到极小值 (B) 取到极大值
(C) 取不到极值 (D) 无法判断是否有极值
22??(x,y)?2,fxy??(x,y)?0,fyy??(x,y)?8,故选A。解：fx?(x,y)?2x?2,fy?(x,y)?8y,fxx（内
容要求12） 48、 二元函数z??x2?y3?6x?12y?5在(3,2)处( );
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A. 无法判断是否有极值 B. 取不到极值 C. 取到极大值 D. 取到极小值
?z?z?2z?2z?2z2?3y?12,2??2,?0,2??6y，故选C。解：??2x?6,（内容要求12）
?x?y?x?x?y?y49、 二元函数z?x?y?3x?3y?9x的极小值点为( );
A. (?3,0) B. (?3,2) C. (1,0) D. (1,2)
3322?z?z?2z?2z?2z22?3x?6x?9,??3y?6y,2?6x?6,?0,2??6y?6，故选C。解：?x?y?x?x?y?y（内容要求12）
50、 二元函数z?x?y?3x?3y?9x的极大值点为( );
A. (1,0) B. (1,2) C. (?3,0) D. (?3,2)
3322?z?z?2z?2z?2z22?3x?6x?9,??3y?6y,2?6x?6,?0,2??6y?6，故选D。解：?x?y?x?x?y?y（内容要求12）
51、 函数z?3?x?2y的极大值为 ； 解：显然在（0，0）处取极大值3，所以填3。（内容要求13） 52、 函数z?3x?y?5的极小值为
解：显然在（0，0）处取极小值5，所以填5。（内容要求13）
53、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为：(3??x??y)?x和(4??x?2?y)?y，（????0），求使产鱼总量最大的放养数.
解：产鱼总量z?3x?4y??x?2?xy?2?y，所以
224224??z?3?2?x?2?y?0???x ??z??4?2?x?4?y?0???y解得x?3??2?4??3?,y?，由实际问题，产鱼总量最大的放养数是甲种鱼放养22222???2(2???)3??2?4??3?（万尾），乙种鱼放养（万尾）（内容要求14）
2?2??22(2?2??2).
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54、曲面z?x2?y2?1在点(2,1,4)的切平面方程为( ).
(A) 4x?2y?z?6?0 (B) 4x?2y?z?14?0 (C)
x?2y?1z?4x?2y?1z?4 (D) ????42?1421?z?z?2x,?2y，所以，z?x2?y2?1在点(2,1,4)的法向量为{4,2,?1}，所以在?x?y解：
点(2,1,4)的切平面方程为4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0，整理得4x?2y?z?6?0。所以选A。（内容要求15）
55、曲面x?y?z?1?0在点(2,1,4)的法线方程为( ). (A) 4x?2y?z?6?0 (B) 4x?2y?z?14?0 (C)
22x?2y?1z?4x?2y?1z?4 (D) ????42?1421解：由前题已求得在(2,1,4)的法向量为{4,2,?1}，所以选C。（内容要求15） 56、 曲面e?z?xy?3在点(2,1,0)处的切平面方程为( ). (A)
zx?2y?1z?? (B) x?y?z?4 123(C) x?2y?4?0 (D) x?2y?4?0 解：令F(x,y,z)?e?z?xy?3，则
z?F?F?F?y,?x,?ez?1，由此得(2,1,0)处法?x?y?z向量为{1,2,0}，所以得切平面方程为x?2y?4?0，所以选C。（内容要求15）
57、曲面x2?xy?8x?z?5?0在点(2,?3,1)处的法线方程为( ).
(A)
x?2y?3z?1x?2y?3z?1 (B) ????12?1?1?2?1?x?t?2?(C) x?2y?z?5?0 (D) ?y?t?3
?z?t?1?解：令F(x,y,z)?x?xy?8x?z?5，则
2?F?F?F?2x?y?8,??x,?1，由此得?x?y?z(2,?3,1)处法向量为{?1,?2,1}，所以法线方程为
x?2y?3z?1，所以选A。（内容???1?21.
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要求15）
22258、曲面x?y?z?9在点(1,2,2)处的切平面方程为 ， 法线方程为
解：令F(x,y,z)?x?y?z?9，
222?F?F?F?2x,?2y,?2z，由此得(1,2,2)处法?x?y?z向量为{2,4,4}，切平面方程为2(x?1)?4(y?2)?4(z?2)?0?x?2y?2z?9?0 法线方程为
x?1y?2z?2x?1y?2z?2。（内容要求15） ?????24412259、曲线x?t，y?t2，z?t3在对应于t?1点处的切线方程是( ).
x?1y?2z?3x?1y?2z?3 (B) ????146126x?1y?1z?1x?1y?1z?1(C) (D) ????123126(A)
解：x??1,y??2t,z??3t，在t?1点处的切向量为{1,2,3}，所以切线方程为C。所以选C。（内容要求16）
3260、曲线x?1,y?t,z?t在点(1,1,1)处的切线方程为，
2法平面方程为 解：x??0, ;
x?1y?1z?1， ??032y??3t2,z?2t，所以切向量为{0,3,2}，切线方程为
法平面方程为0(x?1)?3(y?1)?2(z?1)?0?3y?2z?5?0（内容要求16）
61、在曲线x?t,y?t2,z?t3上求出其切线平行于平面x?2y?z?4的切点坐标.
解：设切点处参数为t，由x??1,y??2t,z??3t，得切点处切向量为{1,2t,3t}。又平面
221x?2y?z?4的法向量为{1,2,1}，于是1?4t?3t2?0?t1??,t2??1，故切点坐标为
3111(?1,1,?1)或(?,,?)。（内容要求16）
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62、函数z?yeA. ?2x在点P(1,0)处从点P(1,0)到Q(2,-1)的方向的方向导数为( )
12e2 B. ?12?e2 C.
12e2 D.
12?e2
.