发布时间 : 星期六 文章《数学分析选讲》第一次（主观题）作业答案更新完毕开始阅读
《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业
一、判断下列命题的正误
1. 设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确 （正确） 2. 收敛数列必有界. (正确) 3. 设数列{an}与{bn}都发散，则数列{an?bn}一定发散. (错误) 4．若S为无上界的数集,则S中存在一递增数列趋于正无穷. (正确) 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确)
二、选择题
1．设f(x)???x?2,x?1, 则 f[f(1)]?(
3?x,x?1? A ) .
A ?3 ； B ?1 ； C 0 ； D 2
22．“对任意给定的??(0,1)，总存在正整数N，当n?N时，恒有|xn?a|?2?”是数列
{xn}收敛于a的（ A ）.
A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件
3．若数列{xn}有极限a,则在a的?(?0)邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；
C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列{xn}收敛，数列{yn}发散，则数列{xn?yn} （ B ）．
A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim|xn|?a，则 （ C ）
n??A 数列{xn}收敛； B limxn?a；
n??C 数列{xn}可能收敛，也可能发散； D limxn??a；
n??6．若函数f(x)在点x0极限存在，则（ C ） A f(x)在x0的函数值必存在且等于极限值； B f(x)在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值； C f(x)在x0的函数值可以不存在； D 如果f(x0)存在的话必等于函数值
7．下列极限正确的是（ D A limxsinx?01x ）
111sinx?1； B lim?1； C limxsin?0； D limsinx?1
x??x?0xx??xxx?（ D ）
8． limx?02?12?11xA 0； B 1 ； C ?1 ； D 不存在
三、计算题
(3x?6)70(8x?5)201．求极限 lim.
x???(5x?1)90(3x?6)70(8x?5)20解：limx???(5x?1)90??3??lim?x???6??5???8??x??x?901???5??x??7020370?820? 9052．求极限 lim(x??x?12x?1). x?22x2x1x21??1??1??[(1?)]1?1?1???????x?12x?1xxx?limx??? lim 解： lim( )?lim????xx??x??x??x??x?22?22?2?1???1???1??[(1?)2](?4)x?x??x???xe26 ??4?e
e3．求极限lim(n??1n?n?12?1n?n?22??1n?n?n2) .
11 解：由于1?(1???2311lim(1???n??23
111?)n?nn， 又limnn?1， 由迫敛性定理
n??n11?)n?1 nnx?n?x,x?(??,??)的连续性.若有间断点指出其类型. 4．考察函数f(x)?limxn??n?n?xnx?n?xn2x?1?lim2x??1；同理当x?0时，有f(x)?1。解：当x?0时，有f(x)?limx
n??n?n?xn??n?1??1,x?0?而f(0)?0，所以f(x)?sgnx??0,x?0。所以0是f的跳跃间断点
?1,x?0?四、证明题
设liman?a，limbn?b，且a?b. 证明：存在正整数N，使得当n?N时，有
n??n??an?bn.
a?ba?b，由保号性定理，存在N1?0， ?b. 因为liman?a?n??22a?ba?b使得当n?N1时有an?。 又因为limbn?b?，所以，又存在N2?0，使得
n??22a?ba?b当n?N2时有bn?. 于是取N?max{N1,N2}，当n?N时，有an??bn
22证 由a?b，有a?