发布时间 : 星期三 文章2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程分层演练 理（含解析）新人教A版更新完毕开始阅读
第3讲 圆的方程
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( ) A．x＋(y－2)＝1 C．(x－1)＋(y－3)＝1
2
2
2
2
2
2
2
B．x＋(y＋2)＝1 D．x＋(y－3)＝1
2
2
2
解析：选A.设圆心为(0，a)，则（1－0）＋（2－a）＝1， 解得a＝2，故圆的方程为x＋(y－2)＝1.故选A. 2．方程|x|－1＝1－（y－1）所表示的曲线是( ) A．一个圆 C．半个圆
2
2
2
2
2
B．两个圆 D．两个半圆
2
2
???（|x|－1）＋（y－1）＝1，?（x－1）＋（y－1）＝1，?解析：选D.由题意得即?或?|x|－1≥0，?x≥1????（x＋1）＋（y－1）＝1，
? ?x≤－1.?
2
2
故原方程表示两个半圆．
3．(2019·湖南长沙模拟)圆x＋y－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( ) A．1＋2 C．1＋
2
2
2
2
2
2
B．2 D．2＋22
解析：选A.将圆的方程化为(x－1)＋(y－1)＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到|1－1－2|
直线x－y＝2的距离d＝＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1
2＝2＋1，选A.
4．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝22均相切，则该圆的标准方程为( ) A．(x－1)＋(y＋2)＝4 B．(x－2)＋(y＋2)＝2 C．(x－2)＋(y＋2)＝4 D．(x－22)＋(y＋22)＝4
|2－a－22|解析：选C.设圆心坐标为(2，－a)(a>0)，则圆心到直线x＋y＝22的距离d＝
2＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)＋(y＋2)＝4，故选C.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5．(2019·广东七校联考)圆x＋y＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，13
则＋的最小值是( )
22
abA．23 C．4
2
2
20B. 316D. 3
2
2
2
解析：选D.由圆x＋y＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)＋(y－3)＝9，因为圆x＋
y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，所以该直线经过圆心(－1，3)，
131?13?1?3a3b?即－a－3b＋3＝0，所以a＋3b＝3(a>0，b>0)．所以＋＝(a＋3b)?＋?＝?1＋＋＋9?baab3?ab?3??1?≥?10＋23?
3b3a3a3b?16
·?＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.
abba?3
6．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3), 若M(m，6)在圆C内，则m的范围为________．
解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得 (a＋1)＋1＝(a－1)＋3.所以a＝2. 半径r＝|CA|＝（2＋1）＋1＝10. 故圆C的方程为(x－2)＋y＝10.
由题意知(m－2)＋(6)<10，解得0 7．已知点P(2，2)，圆C：x＋y－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段 2 2 2 22 2222 2 2 2 AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________． 解析：圆C的方程可化为x＋(y－4)＝16， 所以圆心为C(0，4)，半径为4. →→ 设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)． →→ 由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0. 即(x－1)＋(y－3)＝2. 由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)＋(y－3)＝2. 答案：(x－1)＋(y－3)＝2 8．已知点P(－2，－3)，圆C：(x－4)＋(y－2)＝9，过点P作圆C的两条切线，切点为A， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B，则过P、A、B三点的圆的方程为________________． 解析：易知圆C的圆心为C(4，2)，连接AC、BC， 由题意知PA⊥AC，PB⊥BC， 1??所以P，A，B，C四点共圆，连接PC，则所求圆的圆心O′为PC的中点，所以O′?1，－?， 2??所以所求圆的半径r′＝ ?1?（1＋2）＋?－＋3?＝ ?2? 2 2 61. 4 ?1?61 所以过P，A，B三点的圆的方程为(x－1)＋?y＋?＝. 4?2? 2 2 ?1?61 答案：(x－1)＋?y＋?＝ 4?2? 2 2 9．求适合下列条件的圆的方程． (1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)． b＝－4a， ??（3－a）＋（－2－b）＝r， 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，则有? |a＋b－1|??2＝r， 2 2 2 2 2 2 解得a＝1，b＝－4，r＝22. 所以圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8. 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)． 所以半径r＝（1－3）＋（－4＋2）＝22， 所以所求圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8. (2)设圆的一般方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F＞0)， 1＋144＋D＋12E＋F＝0，?? 则?49＋100＋7D＋10E＋F＝0， ??81＋4－9D＋2E＋F＝0.解得D＝－2，E＝－4，F＝－95. 所以所求圆的方程为x＋y－2x－4y－95＝0. 10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C和D，且|CD|＝410. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)． 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.① 又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210， 所以(a＋1)＋b＝40.② ??a＝－3，??a＝5，?由①②解得或? ?b＝6，?b＝－2.?? 22 所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)． 所以圆P的方程为(x＋3)＋(y－6)＝40或(x－5)＋(y＋2)＝40. 1．已知实数x，y满足x＋y＝4(y≥0)，则m＝3x＋y的取值范围是( ) A．(－23，4) C．[－4，4] B．[－23，4] D．[－4，23] 2 22 2 2 2 解析：选B.由于y≥0，所以x＋y＝4(y≥0)为上半圆.3x＋y－m＝0是直线(如图)， 且斜率为－3，在y轴上截距为m，又当直线过点(－2，0)时，m＝－23，设圆心O到直 22 ?m≥－23， ?m≥－23，? 线3x＋y－m＝0的距离为d，所以?即?|－m| ?d≤r，≤2，??2 解得m∈[－23，4]． 4x＋3y－12≥0，??22 2．设命题p：?k－x≥0，(x，y，k∈R且k＞0)；命题q：(x－3)＋y≤25(x，y∈ ??x＋3y≤12R)．若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是________． 解析：如图所示： 命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件，实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可． k＞0，??4??由题知B?k，4－k?，则? 1622 3??（k－3）＋（3－k）≤25，?9?