发布时间 : 星期日 文章(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)更新完毕开始阅读
基本不等式及其应用
1.基本不等式
a+b
若a>0,,b>0,则2≥ab,当且仅当时取“=”.
这一定理叙述为:两个正数的算术平均数它们的几何平均数. 注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点: (1)各项或各因式均正;(一正) (2)和或积为定值;(二定)
(3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等) 2.常用不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2)ab?a?b?a,b?0? 2a?b≥ab它们成立的条件不同,前者只要求a、2a?b2
b都是实数,而后者要求a、b都是正数.其等价变形:ab≤().
2注:不等式a2+b2≥2ab和
?a?b?(3)ab≤?? (a,b∈R).
?2?ba
(4)a+b≥2(a,b同号且不为0).
222
?a?b?a+b(5)???2(a,b∈R). ?2?2a2?b2a?b2?a,b?0? ??ab?(6)
1122?ab(7)abc≤。?a,b,c?0?
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(8)≥;?a,b,c?0?
3.利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a+b≥,a2+b2≥.
(2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),即.
设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是( ) A.6 B.42C.22D.26
解:因为2a>0,2b>0,由基本不等式得2a+2b≥22a·2b=22a+b=42,3
当且仅当a=b=2时取等号,故选B.
若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( ) 1
A.2B.1 C.2 D.4
1
解:∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤2.当且仅当a1
=1,b=2时等号成立.故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )
A.a<v<abB.v=ab a+ba+bC.ab<v<2D.v=2 解:设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a<b,∴v=s
2ss=
2ab2ab
<=ab. a+b2ab
a+b
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ab-a2a2-a22ab
又v-a=-a=>=0,∴v>a.故选A.
a+ba+ba+b
(2014·上海)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为________. 24
解:由xy=1得x2+2y2=x2+x2≥22,当且仅当x=±2时等号成立.故填22.
点(m,n)在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动,则log2m+log2n的最大值是________.
解:由条件知,m>0,n>0,m+n=1, ?m+n?21
?=, 所以mn≤?
4?2?1
当且仅当m=n=2时取等号,
1
∴log2m+log2n=log2mn≤log24=-2,故填-2.
类型一 利用基本不等式求最值
(1)求函数y=(x>-1)的值域.
解:∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,则m>0,且y==m++5≥2+5=9,当且仅当m=2时取等号,故ymin=9.
又当m→+∞或m→0时,y→+∞,故原函数的值域是[9,+∞). (2)下列不等式一定成立的是( ) A.lg>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.
1
>1(x∈R) x2+1
111
解:A中,x2+4≥x(x>0),当x=2时,x2+4=x. 1
B中,sinx+sinx≥2(sinx∈(0,1]);
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1
sinx+sinx≤-2(sinx∈[-1,0)). C中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R). D中,
1
∈(0,1](x∈R).故C一定成立,故选C. x2+1
点拨:
ax2+bx+c
这里(1)是形如f(x)=的最值问题,只要分母x+d>0,都可以将
x+df(x)转化为f(x)=a(x+d)+
e
+h(这里ae>0;若ae<0,可以直接利用单调性x+d
等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,特别注意等号成立条件要存在.
t2-4t+1
(1)已知t>0,则函数f(t)=的最小值为.
tt2-4t+11
解:∵t>0,∴f(t)==t+
tt-4≥-2, 当且仅当t=1时,f(t)min=-2,故填-2. (2)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求: (Ⅰ)xy的最小值; (Ⅱ)x+y的最小值.
解:(Ⅰ)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0, 则1=+≥2=,得xy≥64,
当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立.
(Ⅱ)解法一:由2x+8y-xy=0,得x=,∵x>0,∴y>2, 则x+y=y+=(y-2)++10≥18,
当且仅当y-2=,即y=6,x=12时等号成立. 解法二:由2x+8y-xy=0,得+=1,
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