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有限元法分析荷载作用下简支梁受力问题
摘要：本文应用有限元数值分析方法，以简支梁为例，比较梁单元与实体单元的差异，并利用弹性力学解析解对照分析二者解的误差。分析认为对于杆件，采用梁单元建立有限元模型计算简单迅速，结果精度满足工程要求；但对于单个构件的整个应力场进行分析时，需要采用实体单元，并且单元尺寸足够小，才能够得到与实际情况接近的应力分布。
关键字：有限元；简支梁；受力
正文：
在建筑工程技术领域，许多力学问题难以用解析方法求解。有限元方法作为数值解法的一种，常被应用于求解工程中的力学问题和场问题。在土建领域中，绝大多数应力应变问题都应用有限元法进行计算，得到解的精度也是满足工程需要的。但是，在不同的单元模型之间，刚度矩阵的建立和边界条件的设定是有差异的。
有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂问题，因而成为行之有效的工程分析手段。简支梁在土建领域有着非常广泛的应用，怎样对简支梁在实际工程中的力学性状进行准确分析，这一问题就显得十分关键。本文以简支梁为例，比较梁单元与实体单元的差异，采用有限元结构分析方法并利用弹性力学解析解对照分析二者解的误差提高计算精度。
1有限元分析的理论和步骤
有限元法的核心部分即为求解近似变分方程，就是将有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于复杂工程
的辅助计算分析中。
有限元分析可总体分成分成三大阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，提取完整数据信息，了解模型计算分析结果。具体分析步骤如下：
一、问题及求解域定义：根据预定的分析目的近似确定求解域的物理性质和几何区域。
二、求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，称为有限元网络划分。单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大。求解域的离散化是有限元法的核心步骤。
三、确定状态变量及控制方法：将分析对象用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，将微分方程化为等价的泛函形式。
四、单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。对工程分析而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
五、总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。
六、联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
2计算模型的建立
选取的箱形钢简支梁（）跨径10m，受均部荷载q=11kN/m。截面尺寸见图1。梁单元模型划分20段，每段0.5m；实体单元模型为边长0.1mｘ0.1mｘ0.5m的长方体，其延梁轴向的一段。梁计算模型如图1。
图1 箱形钢简支梁计算单元模型
3数据比较分析
在设置好水压、位移、地应力场等初始条件后，就可以按照模拟工况进行有限元计算了。基于实际施工过程，模拟基坑开挖工况列于表4。轴向应力公式和利用挠曲线近似微分方程推导出跨中挠度公式分别如下式（2-1）、（2-2）：
（2-1）
（2-2）
梁跨中各数据对照见表1：
表1 跨中各数据对照
理论计算 实体单元 梁单元
M（kN·m） 137.5 137.5 137.5
（MPa） 顶部 -1.39516 -1.22692 -1.39736
底部 1.39956 1.25999 1.39736
（m） 0.000141 0.000152 0.000150
从各数据对照可以看出，采用实体单元无法得出弯矩值，而采用梁单元却可以得到完全正确的弯矩值。采用实体单元可以得出梁的顶部和底部的应力是有细微的差别的，这与弹性力学分析是一致的，但实体单元的解误差相对较大，达到了10%；采用梁单元只能求得绝对值相等、符号相反的应力，但误差较小，小于0.2%。
对于跨中挠度，实体单元与梁单元得出的解答十分接近，由于挠曲线方程是近似的微分方程，其解答也不能作为评价的标准。需要指出的是，采用表中列出的由实体单元得到的挠度是梁底部的竖向位移，同时得到的还有顶部竖向位移0.000154m,这是应为梁顶的荷载使梁在ｚ轴方向被压缩，但这个量非常的小，仅有2微米。采用实体单元还能得到梁上各点在x方向和y方向的位移，但这些值都是微米级的，实际工程中完全可以忽略。
梁单元虽然建模简单，计算耗时少，解的精度也满足要求，但得到的应力云图显然是错的。而实体单元能正确的反应出应力的分布（图2）。在实体单元的应力分布云图中，可以看到边角及支座处明显的应力集中现象。
图2实体单元应力分布图
4 结论
基于应用有限元法对于简支梁力学问题的精度讨论，认识到：进行结构力学分析时，对于杆件而言采用梁单元建立有限元模型的计算方式简单迅速，结果精度能够满足工程要求；但对于单个构件的整个应力场进行分析时，需要采用实体单元，并且单元尺寸选择适当，才能够得到与实际情况接近的应力分布，分析计算结果对于实际工程的应用也就更具实际意义。
5 参考文献
[1]郭乙木.线性与非线性有限元及其应用[M].北京：机械工业出版社,2005
[2]陈惠发. 土木工程材料的本构方程[M]. 武汉：华中科技大学出版社,2004
[3]吕西林,金国芳,吴晓涵.钢筋混凝土结构非线性有限元理论与应用[M].上海：同济大学出版社，1997