发布时间 : 星期四 文章陕西历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数更新完毕开始阅读
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可得
，结论成立．
，
下面用数学归纳法证明．①当n=1时，②假设n=k时结论成立，即
那么n=k+1时，=即结
论成立．
由①②可知，结论对n∈N+成立．
（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥
恒成立．
设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），
∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增， 又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立． ∴当a≤1时，ln（1+x）≥
恒成立，（仅当x=0时等号成立）
当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，
∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0
即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0， 故知ln（1+x）≥
不恒成立，
综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．
（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+?+g（n）=
n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），
比较结果为g（1）+g（2）+?+g（n）＞n﹣ln（n+1） 证明如下：上述不等式等价于在（Ⅱ）中取a=1，可得令
则
，
， ，
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故有ln3﹣ln2
，?
，
，
上述各式相加可得
结论得证．
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