发布时间 : 星期五 文章多元函数微分法及其应用习题及答案更新完毕开始阅读
证：令F?x,y,z??x2?y2?z2?1，则??a,b,c??∑，
?F?x?a,b,c??2x?a,b,c??2a，
?F?y?a,b,c??2y?a,b,c??2b，
?F?z?a,b,c??2z?a,b,c??2c，法线方程为：
x?ay?bz?c，于是任一法线都过原点。 ??2a2b2c24．求椭球面3x2?y2?z2?16上的一点??1,?2,3?处的切平面与平面z?0的交角。 解：设F?x,yz??3x2?y2?z2?16，则法向量为Fx??6x，Fy??2y，Fx??2z，在
????1,?2,3?处的法向量n???6,?4,6??2??3,?2,3?。又平面z?0的法向量n1??0,0,1?，由平
面夹公式：
cos????3??0???2??0?3?11(?3)?(?2)?3?122?322，即??arccos322。
25．设u，v都是x，y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明：
rgad(uv)?vgradu?ugradv。
??uv????uv????uv??i?j?k 证：graduv??x?y?z?v????u?v????u?v????u ??v?u?i???v?y?u?y??j??v?z?u?z?k ?x?x????????u??u??u????v??v??v?? ?v???xi??yj??zk???u???xi??yj??zk??
???? ?vgradu?ugradv
26．问函数u?xy2z在P?1,?1,2?处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。
解：gradu??ux,uy,uz??y2z,2xyz,xy2 gradu?1,?2,2?????2,4,1?是方向导数最大值的方向。
2 gradu?22???4??12?21是此方向导数的最大值。
x2y2z227．求内接于椭球面??2?2?1的最大长方体的体积。
abc解：设P?x,y,z?是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为：
V?8xyz (x?0，y?0，z?0) (*1)
x2y2z2由于P?x,yz?在椭球面上，故x，y，z应满足条件：??2?2?1，于是问题即求函
abc数(*1)在约束条件（*2）下的条件极限问题。引入L——函数
?x2y2z2??F?x,y,z,???8xyz??????1?a2b2c2?
????Fx??Fy??令??Fz???F???2?x?0,(1)2a2?y?8xz?2?0,(2)b
2?z?8xy?2?0,(3)cx2y2z2?2?2?2?1?0(4)abc?8yz?abc?2，y?，z? ?，得唯一解：x?3333a3得：8xyz?由题意，所求的最大体积存在故以点(内接于椭球面的长方体的体积最大。 最大体积为V?8?,
b3,
c3)为一个顶点所作的对称于坐标面的
a3?b3?c3?83abc。 928．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：
R?15?14x?31y?8xy?2x2?10y2，在限定广告费为万元的情况下，求相应的最优广
告策略。
解；作L——函数：F?x,y,z??15?14x?31y?8xy?2x2?10y2???x?y?1.5?
?Fx?13?8y?4x???0?令?Fy?31?8x?20y???0 ??F??x?y?1.5?0?2x?6y?9得?，得唯一解：x?0，y?1.5。
x?y?1.5?又由题意，存在最优策略，所以将万全部投到电视广告的方案最好。 29．求函数f?x,y??ex?y的n阶麦克劳林公式，并写出余项。
n?x?y解：f?0,0??1，fx?0,0??1，fy?0,0??1，同理f?mn?m?0,0??e?1，所以xy?0,0?kex?y?1??x?y??12!?x2?2xy?y2????1nn?x?y?n!?x?y??Rn???R其
k?0k!nRx?yn??n?1?!e??x?y?（0???1）。 30．利用函数f?x,y??xy的2阶泰勒公式，计算1?11.02的近似值。 解：在点?1,1?处将f?x,y??xy展开成三阶泰勒公式：
f?1,1??1，fx?1,1??yxy?1?1,1??1，fy?1,1??xylnx?1,1??0，
fy?2xx?1,1??y?y?1?x?1,1??0，fxy?1,1???xy?1?yxy?1lnx??1,1??1，
f2yy?1,1??xylnx?1,1??0
所以f?x,y??f?1??x?1?,1??y?1???xy?1??x?1??12!?2?x?1??y?1???R2 ?1??x?1???x?1??y?1?
故1?11.02?1?0.1?0.1?0.02?1.102。
(C)
1．证明limxyxx2。
?y2?0y??00证明：因为x2?y2?2xy，即|xy|?x2?y22
所以
xy?y2x2?y2?x2?y2x22x2?y2?2 ???0，取??2?
当0?x2?y2??时，就有
中
xyx?y22?0?xyx?y22x2?y2???? 22?0。
所以limx?0y?02．设f?x,y??|x?y|??x,y?，其中??x,y?在点?0,0?，邻域内连续，问(1)??x,y?在什么条件下，偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在；(2)??x,y?在什么条件下，f?x,y?在?0,0?处可微。
分析：从定义出发，进行推演
f?0?x,0??f?0,0?x??x,0??0?lim??lim???x,0????0,0?
x?0x?0x?0xxf?0?x,0??f?0,0? lim??lim????x,0??????0,0? x?0x?0x解：(1)lim? lim?y?0f?0,0?y??f?0,0?y??0,y??lim??lim???0,y????0,0?
y?0y?0yyf?0,0?y??f?0,0??lim????0,y??????0,0? y?0y lim?y?0若??0,0??0，则偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在，且fx??0,0??fy??0,0??0。 (2)?f?f?0??x,0??y??f?0,0? ?|?x??y|???x,?y?
|?x??y|?x??y22?|?x|?|?y|?x??y22?2，
故若??0,0??0，当??x?2???y?2???0时，有
?f?fx??0,0??x?fy??0,0??y?2x??2y??
???x??y????x,?y??0
??x?2???y?2所以当??0,0??0时，f?x,y?在?0,0?处可微，且df?0。
3．设y?f?x,t?而t为由方程??x,y,t??0所决定的函数，且??x,y,t?是可微的，试求
dy。 dx