发布时间 : 星期五 文章2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P更新完毕开始阅读
?ππ?从而知M点的球坐标为?2，，?.
44??
由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公
x＝rsin φcos θ，??
式?y＝rsin φsin θ，??z＝rcos φ，
2
zr求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r＝x＋y222
＋z，tan θ＝，cos φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．
3．求下列各点的球坐标：
(1)M(1，3，2)；(2)N(－1,1，－2)．
解：(1)r＝x＋y＋z＝ 1＋?3?＋2＝22， 由z＝rcos φ，得 cos φ＝＝π
∴φ＝，
4又tan θ＝＝π∴θ＝，
3
ππ??∴它的球坐标为?22，，?. 43??(2)由变换公式，得
2
2
2
2
2
2
yxz22
＝. r222
yx3
＝3，x>0，y>0， 1
r＝x2＋y2＋z2＝ ?－1?2＋12＋?－2?2＝2.
由z＝rcos φ，得cos φ＝＝－3π∴φ＝. 4又tan θ＝＝3π∴θ＝. 4
40
zr2. 2
y1
＝－1，x＜0，y＞0， x－1
?3π3π?∴它的球坐标为?2，，?.
44??
课时跟踪检测(六)
一、选择题
?ππ?1．已知一个点的球坐标为?1，，?，则它的方位角为( )
63??
A.
π3πππ
B. C. D. 3426
解析：选A 由球坐标的定义可知选A.
5??2．设点M的柱坐标为?2，π，2?，则它的球坐标为( )
4??
?ππ??π5 π? C.?2，5 π，π? D.?2，3 π，π?
A.?2，，? B.?2，，??44?44?44?44????????
解析：选B 设点M的直角坐标为(x，y，z)，
???y＝??z＝
x＝2cos
2sin2，
5 π
，4
5 π
，4
2
＝－1，?x故?y＝－1，?z＝2.
2
设点M的球坐标为(ρ，φ，θ)．
则ρ＝?－1?＋?－1?＋?2?＝2， π
由2＝2cos φ知φ＝. 4－1
又tan θ＝＝1，
－15 π
故θ＝，
4
2
?π5 π?.
故点M的球坐标为?2，，?44??
?π?3．点P的球坐标为?1，，π?，则它的直角坐标为( )
2??
A．(1,0,0) B．(－1，－1,0) C．(0，－1,0) D．(－1,0,0) π
解析：选D x＝rsin φcos θ＝12sin2cos π＝－1，
2
41
y＝rsin φsin θ＝12sin2sin π＝0， z＝rcos φ＝12cos＝0.
∴它的直角坐标为(－1,0,0)．
4．设点M的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( )
π2
π2
?ππ??π5π??5ππ??3ππ?A.?2，，? B.?2，，? C.?2，，? D.?2，，?
44?44?44?44?????
解析：选B 由坐标变换公式，得
z2π
r＝x2＋y2＋z2＝2，cos φ＝＝，∴φ＝. r24y－15π
∵tan θ＝＝＝1，∴θ＝. x－14
?π5π?∴M的球坐标为?2，，?.
44??
二、填空题
?π3π?5．已知点M的球坐标为?4，，?，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是
44
?
?
________．
解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标． 3π??答案：(－2,2,22) ?22，，22? 4
??
6．在球坐标系中，方程r＝1表示________． 解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状． 答案：球心在原点，半径为1的球面
?ππ??3π3π?7．在球坐标系中A?2，，?和B?2，，?的距离为________．
44?44???
解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，2)，B(－1,1，－2)． ∴|AB|＝[1－?－1?]＋?1－1?＋[2－?－2?]＝23. 答案：23 三、解答题
8．将下列各点的球坐标化为直角坐标．
2
2
2
?π5π?(1)?4，，?；
23???3π?(2)?8，，π?. 4??
42
π5ππ5π
解：(1)x＝4sincos＝2，y＝4sinsin＝－23，
2323
z＝4cos＝0，
∴它的直角坐标为(2，－23，0)． 3π
(2)x＝8sincos π＝－42，
4
π2
y＝8sin
3π3π
sin π＝0，z＝8cos＝－42， 44
∴它的直角坐标为(－42，0，－42)． 9．如图，请你说出点M的球坐标．
解：
由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．
∴点M的球坐标为：M(R，φ，θ)．
10．如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，
D的球坐标．(其中O是△BCD的中心)
解：∵O是△BCD的中心， ∴OC＝OD＝OB＝∴C?36
，AO＝. 33
?3π??3π2π?
，，0?，D?，，?，
3??32??32
B?
?3π4π??6?
，，?，A?，0，0?.
3??3?32?
43