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nm?1，由迫敛性得结论. m?1?limn??例1： limna?1(a?1)
n?? 在证明中, 令hn?na?1?0， a?(1?hn)n，得0?hn?a，由此推出hn?0.
xn?a?limyn, 也推出limzn?a. 由此例也看出由xn?zn?yn和limn??n??n??例2： 证明 limnn?1.
n??证明： 令 nn?1?hn,
n?(1?hn)n?1?nhn?n(n?1)2n(n?1)2nhn???hn?hn22(n?3)， n 0?hn?2n?1两边夹推出 hn?0，即nn?1.
在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例；
24n?6n?1
例3： 求极限 limn??3n2?n?914?64n2?6n?14n?n2解 lim. ?lim?n??3n2?n?9n??3?1?93nn2(1?a???an)例4： 求极限 limn??n(0?a?1).
n1?a1. 解 lim(1?a???a)?lim?n??n??1?a1?a例5：lim(n??3n?1n?13n?1n?111?)?limlim?lim(3?)lim(1?) n??n??nnnn??nnn??n11?(lim3?lim)(lim1?lim)?3?1?3 n??n??nn??n??namnm?am?1nm?1???a1n?a0例6：求lim，m?k，am?0，bk?0 k?1n??bnk?b???b1n?b0kk?1n?amamnm?k?am?1nm?k?1???a1n1?k?a0n?k?,m?k??bm解：原式?lim ?11?k?kn??bk?bk?1n???b1n?b0n?0,m?k?，为最高次系数之比?分子分母最高次数相同即：有理式的极限?
分子最高次低于分母最高次，则为0?
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2n3?4n2?52? 如 limn??3n3?10n?73例7：limn(n?1?n)?limn??n??n111?lim??
1?12n?1?nn??1?1n?1例8：设a,b?0，证明 limnan?bn?max(a,b).
n??证明： max(a,b)?nmax(a,b)n?nan?bn?n2max(a,b)n?max(a,b). 二 数列的子列
1、引言
极限是个有效的分析工具.但当数列?an?的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道?an?没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”.
2、 子列的定义
定义1 设?an?为数列，?nk?为正整数集N?的无限子集，且
n1?n2?n3?L?nk?L，则数列
an1,an2,L,ank,L
k称为数列?an?的一个子列，简记为?an?.
注1 由定义可见，?an?的子列?an?的各项都来自?an?且保持这些
k项在?an?中的的先后次序.简单地讲，从?an?中取出无限多项，按照其
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在?an?中的顺序排成一个数列，就是?an?的一个子列（或子列就是从
?an?中顺次取出无穷多项组成的数列）.
注2 子列?an?中的nk表示an是?an?中的第nk项，k表示 an是
kkk即?a?中的第k项就是?a?中的第n项，故总有n?a?中的第k项，
nknknkk?k.
特别地，若nk?k，则an?an，即?an???an?.
kk注3 数列?an?本身以及?an?去掉有限项以后得到的子列，称为
?an?的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为?an?的非平凡子列.
如?a2k?,?a2k?1?都是?an?的非平凡子列.由上节例知：数列?an?与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.
那么数列?an?的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：
{an}的任何非平凡子列都收定理2.8 数列{an}收敛的充要条件是：
敛．
an?a,{an}是{an}的任一子列．任给??0，存证明： 必要性 设limn??在正数N，使得当k?N时有ak?a??.由于nk?k,故当k?N时有nk?N，
k从而也有an?a??，这就证明了{an}收敛（且与{an}有相同的极限）
kk．
充分性 考虑{an}的非平凡子列{a2k}，{a2k?1}与{a3k}．按假设，它们都收敛．由于{a6k}既是{a2k}，又是{a3k}的子列，故由刚才证明的必要性，
lima2k?lima6k?lima3k.k??k??k?? （9）
又{a6k?3}既是{a2k?1}又是{a3k}的子列，同样可得
lima2k?1?lima3k. （10） k??k??（9）式与（10）式给出
lima2k?lima2k?1． k??k??所以由课本例7可知{an}收敛．
由定理2．8的证明可见，若数列{an}的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与{an}必收敛于同一个极限．于是，若数列{an}有一
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个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{an}一定发散．例如数列{(?1)n},其偶数项组成的子列{(?1)2n}收敛于1，而奇数项组成的子列{(?1)2k?1}收敛于?1，从而{(?1)n}发散．再如数列{sinn?}，它
2的奇数项组成的子列{sin2k?1?}即为{(?1)k?1}，由于这个子列发散，故
2数列{sinn?}发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．
2§3 数列极限存在的条件
教学内容：第二章 数列极限 ——§3 数列极限存在的条件 教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具.
教学要求：（1）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛
数列的极限；
（2）初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性.
教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用. 教学难点：相关定理的应用. 教学方法：讲练结合. 教学程序：
引 言
在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列?an?极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为
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