发布时间 : 星期日 文章南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学试题(Ⅰ、Ⅱ卷含答案)更新完毕开始阅读
12-x144-x21600(12+x)
(2)由已知函数求导,得f'(x)=+6002]. 2=(12-x)[+2xx(x+144)2(x+144)
令
f'(x)
=
0
,
得
x
=
12. …………………………9分
列表得
x f'(x) f(x) (4,12) + 增 12 0 极大值 (12,22) - 减 所以函数在x=12时取极大值也是最大值,即每天空气质量指数最高的时刻为12时. …………………………12分
答:(1)实数m的值为12;(2)空气质量指数最高的时刻为12时. ……………………14分
18.(本小题满分16分)
a2
解:(1)因为椭圆C的两个焦点间距离为2,两准线间的距离为2×=8,
c
所以a=2,c=1,所以b2=3, 所
以
椭
圆
的
方
程
为
x24
+
y23
=
1. …………………………3分 (2)设P(x0,y0),由于m=0,则Q(-x0,-y0),
由
x024
+
y023
=
1
,
得
y02
=
3
-
3x02
, …………………………5分 4
y0x0+2
-y0
·
-x0+2
y02x02-4
3x023-
42x0-4
所以
k1k2
====-
3
. …………………………8分 4
(3)由(1)得A(-2,0).
高三数学试题第5页(共4页)
方法一:设P(x1,y1),设直线AP的方程为AP:y=k1(x+2), xy??+=122
联立?43,消去y,得(3+4k12)x2+16k1x+16k1-12=0,
?y=k1(x+2)?所
2
2
2
以
xA·x1
=
16k1-12
, …………………………10分
3+4k126-8k112k1
所以x1=, 2, 代入y=k1(x+2)得y1=3+4k13+4k12所
以
P(
6-8k1
3+4k122
2
,
12k1). …………………………12分
3+4k1224k1-2-12k111
由k1k2=-,得k2=-,所以Q(,). …………………………
44k11+12k121+12k1213分
→→设M(m,0),由P,Q,M三点共线,得PM=λQM, 24k1-2-12k16-8k112k1即-m), 2×(2-m)= 2×(3+4k11+12k11+12k13+4k12化
简
得
(m
-
1)(16k12
+
4)
=
0
,
所
以
m
=
2
2
2
1. …………………………16分
方法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
xy??+=1联立?43,消去y,得(3+4k2)x2-8mk2x+4m2k2-12=0,
??y=k(x-m)所
以
x1
+
x2
=
8mk2
3+4k2,
x1·x2
=
2
2
4m2k2-12
…………………………10分
3+4k2k(x1-m)k(x2-m)k2[x1x2-m(x1+x2)+m2]y1y21
而k1k2=·=·==-,
4x1+2x2+2x1+2x2+2x1x2+2(x1+x2)+4
……………………
……13分
k2(3m2-12)12222
化简得2222=-,即mk+mk-2k=0. 44mk+16mk+16k
高三数学试题第6页(共4页)
因为k2≠0,所以m2+m-2=0,解得m=1或m=-2(舍去). 当m=1时,△>0, 所
以
,
m
=
1. …………………………16分 19. (本小题满分16分)
2
解:(1)由函数f(x)=x3-tx2+1,得f'(x)=3x2-2tx.由f'(x)=0,得x=0,或x=t.
3
22
因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以t≤0或t≥1,
333
解得t≤0或t≥.…………………………4分
2
(2)令f'(x)=3x2-2tx=p,即3x2-2tx-p=0,△=4t2+12p.
t2
当p>-时,Δ>0,此时3x2-2tx-p=0存在不同的两个解x1,x2.…………………
3
8分
设这两条切线方程为分别为y=(3x12-2tx1)x-2x13+tx12+1和y=(3x22-2tx2)x-2x23
+tx22+1.
若两切线重合,则-2x13+tx12+1=-2x23+tx22+1,
即2(x12+x1x2+x22)=t(x1+x2),即2[(x1+x2)2-x1x2]=t(x1+x2).
2tt24t24t222
而x1+x2=,化简得x1·x2=,此时(x1-x2)=(x1+x2)-4x1x2=-=0,
3999与x1≠x2矛盾,所以,这两条切线不重合.
综上,对任意实数t,函数f(x)的图象总存在两条切线相互平
行. …………………………10分
(3)当t=3时f(x)=x3-3x2+1,f'(x)=3x2-6x.
由(2)知x1+x2=2时,两切线平行. 设A(x1,x13-3x12+1),B(x2,x23-3x22+1), 不妨设x1>x2,则x1>1. 过点
A
的切线方程为
y=(3x12-6x1)x-2x13+3x12+
1. …………………………11分
高三数学试题第7页(共4页)
所以,两条平行线间的距离
|2x23-2x13-3(x22-x12)||(x2-x1)[2(x1+x2)2-2x1x2-3(x1+x2)]|d===4,
1+9(x12-2x1)21+9(x12-2x1)2化
简
得
(x1
-
1)6
=
1
+
9[(x1
-
1)2
-
1]2, …………………………13分 令(x1-1)2=λ(λ>0),则λ3-1=9(λ-1)2,
即(λ-1)( λ2+λ+1)=9(λ-1)2,即(λ-1)( λ2-8λ+10)=0.
显然λ=1为一解,λ2-8λ+10=0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解. 因为x1-1>0,所以x1有3解, 所
以
满
足
此
条
件
的
平
行
切
线
共
有
3
组. …………………………16分 20.(本小题满分16分)
解:(1)①由a4-a3=4,a3-a2=2,a2-a1=1,a1=1,累加得a4=8. ………………………3分
②因an+1-an=qn1,所以n≥2时,an-an-1=qn2,…,a2-a1=1.
-
-
(i)当q=1时,an=n-1+a1 (n≥2).又因为a1满足an=n-1+a1,所以an=n-1+
a1 (n∈N*).
因为2s=r+t,所以2as=ar+at,所以q=1满足条件. 1-qn1
(ii)当q≠1且q>0时,an=+a1 (n≥2).
1-q
-
又因为a1
1-qn11-qn1
满足an=+a1,所以an=+a1 (n∈
1-q1-q
-
-
N*). ……………………5分
因为2s=r+t,
若存在r,s,t满足条件,即2as=ar+at,化简得2qs=qr+qt, 则2=qrs+qts≥2qr-
-
+t-2s=2,
此时r=t=s,这与r,s,t互不相等矛盾. 所
以
q
≠
1
且
q
>
0
不
满
足
条
高三数学试题第8页(共4页)