发布时间 : 星期一 文章安徽省安庆一中2015届高三上学期1月模拟数学（文）试卷更新完毕开始阅读
当﹣2≤
2
≤2，必有△=（a+2）﹣4（a+1）≤0
2
即△=a≤0，∴a=0，即C在AB的垂直平分线上， ∴AC=BC，故△ABC为等腰三角形． 故⑤错误；
对于①，当P与A，B不重合时，=（对于②，
2
+=（2+a﹣2x，b）， ），则有
+=（与
共线，故①正确；
）﹣（
2
，），即有=（
2
=（2﹣x）（a﹣x）=x﹣2x，﹣）﹣（）
2
2
=（1﹣x）﹣1﹣＜x﹣2x，故②错误；
2
对于③，|错误； 对于④，
|=＞||=，则不存在点P，使||＜||，故③
=（﹣1，b）?（4，0）=﹣4+0=﹣4，故④错误．
故答案为：①．
点评： 本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几
何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知函数f（x）=cos（ωx﹣
）﹣cos（ωx+
）﹣2cos
2
（ω＞0）的最小正周
期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
考点： 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性． 专题： 三角函数的求值．
分析： （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）═根据f（x）的最小正周期为（Ⅱ）由f（x）═
sin（2x﹣
=π，求得ω的值． ）﹣1，令 2kπ﹣
≤2x﹣
sin（ωx﹣）﹣1，再
≤2kπ+，k∈z，求得
x的范围，可得f（x）的单调递增区间． 解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos（ωx﹣=cosωxcos
+sinωxsin
）﹣cos（ωx+
）﹣2cos
2
﹣（cosωxcos﹣sinωxsin）﹣2?
=sinωx﹣cosωx﹣1=sin（ωx﹣）﹣1，
因为f（x）的最小正周期为（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=由 2kπ﹣
≤2x﹣
=π，即ω=2． sin（2x﹣
）﹣1．
≤x≤kπ+
，
≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣
，kπ+
所以f（x）的单调递增区间为[kπ﹣]，k∈z．
点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的周期性和单调性，属于基础题．
17． 一几何体如图所示，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCF；
（Ⅱ）若平面AED⊥平面ABCD，证明：平面AED⊥平面BDF．
考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 证明题；空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）先证明AC⊥BC，而FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC．从而可证明AC⊥平面BCF． （Ⅱ）由（Ⅰ）证明可知BD⊥AD，可证BC⊥平面AED，从而可证平面AED⊥平面BDF． 解答： 证明（Ⅰ）因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°， 所以∠ADC=∠BDC=120°．
又CB=CD，所以∠CDB=30°，所以∠ADB=90°，即BD⊥AD，于是AC⊥BC．…（4分） 而FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC． 又FC∩BC=C，FC，BC?平面BCF， 所以AC⊥平面BCF．…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）证明可知BD⊥AD，
因为平面AED⊥平面ABCD，AD?平面AED， 所以BC⊥平面AED．…（9分） 而BD?平面BDF，
所以平面AED⊥平面BDF．…（12分）
点评： 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．
18．已知函数f（x）=x﹣16x+c+3，
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数c的取值范围； （Ⅱ）是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（注：[a，b]的区间长度为b﹣a）．
考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）由f（x）的图象与性质，得出f（x）=0在[﹣1，1]上有零点时，根据f（﹣1）f（1）＜0，求出a的取值范围；
（Ⅱ）讨论t的取值，求出f（x）在[t，4]的最值，得出值域以及区间长度d，令12﹣t=d，解出t的值，判定是否满足条件即可．
解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=x﹣16x+c+3的对称轴为 x=8，f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，若函数在区间[﹣1，1]上存在零点， 则有f（﹣1）f（1）=（20+c）（﹣12+c）＜0，解得﹣20＜c＜12． （Ⅱ）函数f（x）=x﹣16x+c+3的对称轴为 x=8，
当t≤8时，f（x）在[t，10]的最小值是f（8）=c﹣61，若最大值是f（10）=c﹣57， ∴值域是[c﹣61，c﹣57]；区间长度为（c﹣57）﹣（c﹣61）=4， 令12﹣t=4，解得t=8，满足条件．
若最大值为f（t）=t﹣16t+c+3，则值域是[c﹣61，t﹣16t+c+3]；区间长度为（t﹣16t+c+3）﹣（c﹣61）=12﹣t， 求得t=
（舍去），或t=
，故t=
2
2
2
2
2
2
2
满足条件．
当8＜t＜10时，f（x）在[t，10]的最小值是f（t）=t﹣16t+c+3，最大值是f（10）=c﹣
57，
∴值域是[t﹣16t+c+3，c﹣57]；区间长度为（c﹣57）﹣（t﹣16t+c+3）=﹣t+16t﹣60，
2
令12﹣t=﹣t+16t﹣60，解得t=8（舍去），或 t=9． 综上可得，存在t=8、t=
、t=9 满足条件．
2
2
2
点评： 本题考查了二次函数的图象与性质的应用以及分类讨论的问题，是易错题．
19．已知数列{an}，{bn}分别是等差数列与等比数列，满足a1=1，公差d＞0，且a2=b2，a6=b3，a22=b4．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}对任意正整数n均有证：S2015≥e
2015
++…=an+1成立，设{cn}的前n项和为Sn，求
（e是自然对数的底数）．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）直接根据已知条件建立方程组，求得数列的通项公式．
（Ⅱ）利用构造的新数列，根据通项公式求出数列的和，进一步求出结论成立．
解答： 解：（Ⅰ）因为a2=1+d，a6=1+5d，a22=1+21d，且a2，a6，a22是等比数列中连续三项，
2
所以：（1+5d）=（1+d）（1+21d），由于d＞0 解得：d=3．
所以an=1+3（n﹣1）=3n﹣2， 又b2=a2=4，b，3=a6=16 所以q=4，b1=4 所以：
（Ⅱ）证明：因为所以当n≥2时，
两式作差可得，所以：cn=3bn=3?4
n﹣1
（n≥2），
当n=1时，c1=b1a2=4，不满足上式，故 于是
2015
2015
=4+3（4+4+…+4
122014
）
=4＞e
点评： 本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，等比数列前n项和公式的应用．属于基础题型．
20．已知函数C的离心率为
，且椭圆C的左焦点F1与抛物线y=﹣4x的焦点重合．
2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点F1（﹣1，0），F2（1，0）到一斜率存在的动直线l的距离之距离之积为1，试问直线l是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）求出抛物线的焦点，即有椭圆的c=1，再由离心率公式，可得c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+p，运用点到直线的距离公式，得到方程，讨论去绝对值，再由直线方程和椭圆方程联立，消去y，运用判别式即可判断． 解答： 解：（Ⅰ）由于抛物线y=﹣4x的焦点为（﹣1，0），
2