发布时间 : 星期一 文章专题讲座计数原理更新完毕开始阅读
1．分清两个原理
掌握分类计数原理和分步计数原理是复习好本章的基础.其应用贯穿于本章的始终.正确运用两个原理的关键在于：
（1）先要搞清完成的是怎样的“一件事”.
例1.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
分析：要完成的是“4名同学每人从三个项目中选报一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是应按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：
3×3×3×3=3=81种报名方法.
例2.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
分析：完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4×4×4=4=64种可能的情况.
例3.乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项？
分析：因为展开后的每一项为第一个括号中的一个，第二括号中的一个与第三个括号中的一个的乘积，所以应分三步m1=3,m2=4,m3=5，于是展开后共有m1×m2×m3=3×4×5=60项.
例4.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（ ）
3
4
A.3
4
B.4 C4
33
D.4
4
分析：事件为“加工3个零件”，每个零件都加工完这件事就算完成，应以“每个零件”分步，共3步，而每个零件能在四部车床中的任一台上加工，所以有4种方法，于是安排方法为4×4×4=4=64种，故选B.
例5.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（ ）
3
A.5 B.4 C.5×4×3×2 D.
45
分析：因为5名同学都去听讲座，这件事才能完成，所以应以同学进行分步，又因为讲座是同时进行的，每个同学只能选其中一个讲座来听，于是有4种选择，当完成时共有4×4×4×4×4=4种不同的选法，故选B.
5
例6.设集合A=，B=，则从A集到B集所有不同映射的个数是（ ）
A.81 B.64 C.12 D.以上都不正确
分析：因映射为从A到B，所以A中每一元素在B中应有一元素与之对应，也就是A中所有元素在B中都有象，因此，应按A中元素分为4步，而对于A中每一元素，可与B中任一元素对应，于是不同对应个数应为3×3×3×3=3=81，故选A.
(2)明确事件需要“分类”还是“分步 .
例7．用1,5,9,13任意一个数做分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造多少个不同的分数？可构造多少个不同的真分数？
4
解：由分步计数原理，可构造N=44=16个不同的分数
由分类计数原理，可构造N=4+3+2+1=10个不同的真分数
例8. 已知集合，，映射,当且时，
为奇数，则这样的映射f的个数是（ ）
A．10个 B．18个 C．32个 D．24个
分析 当取-1时，，共有4种取法；
当取0时，，有2种取法；
当取1时，,显然是奇数，共有4种选法.
因此，这样的映射f的个数是是：种.
(3)“分类”是要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性.“分步”时要注意“步”与“步”之间的连续性.
例9. 小李有10个朋友，其中两人是夫妻，他准备邀请其中4人到家中吃饭，这对夫妻或者都邀请，或者都不邀请，有几种请客方法?
解：请客方法以“这对夫妻是否被邀请”可分两类：
(1)请其中的夫妻二人，则还须从余下的8人中选请2个，有种方法.
(2)不请其中的夫妻二人，则应从其余的8人中选请4人，有种方法.
由分类计数原理请客方法共有＋＝98种.
例10.有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种
情况出现如下结果.
①4只鞋子没有成双的；
②4只鞋中有2只成双，另两支不成双.
解：①从10双鞋子中选取4双，有种不同选法；再在每双鞋子中各取一只，分别有取法，根据乘
法原理，选取种数为：N==3360（种）
②方法1：先选取一双有种选法，再从9双鞋种选取2双鞋有种选法，每双鞋各取一只，有种
选法，根据乘法原理，选取种数为：N==1140（种）
方法2：先选取一双有种选法，再从18只鞋中选取2只鞋有，而其中成双的可能性有9种，根据
乘法原理，选取种数为：N=（-9）
例11. 有红、蓝、绿三种颜色的卡片，每种颜色均有A、B、C、D、E字母的各一张，现每次取出四张，要求字母各不相同，三种颜色齐备，问有多少种不同的取法?
分析：每次取出四张，所以有一种颜色的卡片取两张，这种颜色的取法数有，确定了颜色之后，再在
这种颜色里取两个字母，方法数有；最后，在剩下的两种颜色的卡片及每种颜色下的三个字母中分别取一个，
方法数有： 故N=.
2.分清是排列问题还是组合问题
这两个概念共同点都是指从n个不同元素中进行不重复抽取的情况.分清一个具体问题是排列问题还是组合问题的关键在于看从n个不同元素取出m（m合问题.
n）个元素是否与顺序有关，有序就是排列问题，无序则属于组
例12．某街道有十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？
解：问题等价于在七只亮着的路灯产生的六个空档中放入三只熄掉的路灯，因此满足条件的关灯方法有
种.
例13.有7名同学排成一排，甲同学最高，排在中间，其它六名同学身高不相等，甲的左边和右边以身高为准，有高到低排列，共有排法总数是
分析：此问题相当于求六个元素中取出三个元素的组合数. 所以满足条件的排法有：
例14.从12名队员中组队打篮球比赛，要求其中一队的年龄最小的队员也比另一队中年龄最大的队员要大，问有多少种不同的组队方法?
分析：从12名队员中选两名观战的每一种选法，对应着一种组队方法:=66
例15. 从0，1，??9这十个数字中任取3个组成没有重复数字的三位数，且要求百位数大于十位数，十位数大于个位数，这样的三位数有多少个？
分析：显然顺序只有一种，任取3个数的组合数就是这样的三位数的个数，即个.
例16.从2，3，5，7四个数中任取不同的两数，分别作对数的底数和真数 问：（1）可得多少个不同的对数值？ （2）可得多少个大于1的对数值？
分析：（1）与顺序有关，是排列问题.；
(2) 与顺序无关，是组合问题. .
例17. 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者在与负方2号队员比赛，......直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程.那么，所有可能出现的比赛过程共有多少种？
分析：设甲队： 乙队： 下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队
员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列.如：