发布时间 : 星期日 文章(全国通用版)2019高考数学二轮复习 中档大题规范练(三)概率与统计 文更新完毕开始阅读
(三)概率与统计
1．(2018·葫芦岛模拟)海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了100个网箱，测量各网箱水产品的产量(单位：kg)，其产量都属于区间[25,50]，按如下形式分成5组，第一组：[25,30)，第二组：[30,35)，第三组：[35,40)，第四组：[40,45)，第五组：[45,50]，得到频率分布直方图如图：
定义箱产量在[25,30)(单位：kg)的网箱为“低产网箱”，箱产量在区间[45,50]的网箱为“高产网箱”．
(1)若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数；
(2)按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数； (3)若在(2)抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别为m，n，求|m－n|>10的概率．
解 (1)样本中的100个网箱的产量的平均数
x＝(27.5×0.024＋32.5×0.040＋37.5×0.064＋42.5×0.056＋47.5×0.016)×5＝37.5.
(2)各组网箱数分别为：12,20,32,28,8， 要在此100 箱中抽取25箱， 则分层抽样各组应抽数3,5,8,7,2.
(3)由(2)知，从低产网箱3箱和高产网箱2箱共5箱中要抽取2箱，设低产网箱中3箱编号为1,2,3，高产网箱中2箱编号为4,5，则一共有10种抽法，基本事件为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)， 满足条件|m－n|>10的情况为从高、低产网箱中各取1箱，基本事件为 (1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6种， 63所以满足事件A：|m－n|>10的概率为P(A)＝＝. 105
2．(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据
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按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．
解 (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a， 解得a＝0.30.
(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：
由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
(3)设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前4组的频率之和为
0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5. 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．
3．(2018·宁夏银川一中模拟)为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下： 理科：79,81,81,79,94,92,85,89. 文科：94,80,90,81,73,84,90,80.
(1)画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；
(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次
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模拟测试中发挥比较好；
(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．
(参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：
s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x为样本平均数)．
n解 (1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：
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(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下： 1
理科同学成绩的平均数x1＝×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85，
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方差是s1＝×[(79－85)＋(79－85)＋(81－85)＋(81－85)＋(85－85)＋(89－85)＋(92
8－85)＋(94－85)]＝31.25；
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文科同学成绩的平均数x2＝×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84.
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12222222
方差是s2＝×[(73－84)＋(80－84)＋(80－84)＋(81－84)＋(84－84)＋(90－84)＋(90
8－84)＋(94－84)]＝41.75；
由于x1>x2，s1 (3)设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A，B，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a，b，c，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac， 2 2 2 2 2 2 Abc，Bab，Bac，Bbc，abc.其中全是文科组同学的情况只有1种是abc，没有全是理科组同 学的情况， 19记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M，则P(M)＝1－＝. 10104．2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕．为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表. 喜爱 不喜爱 总计 男 30 女 总计 40 100 40 1 (1)将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？ (2)在不喜爱足球运动的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率． n?ad－bc?2附：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d. ?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d? 2 P(K2≥k0) k0 解 (1)补充列联表如下： 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 喜爱 不喜爱 总计 男 30 20 50 女 10 40 50 总计 40 60 100 100×?30×40－10×20? 由列联表知K＝≈16.667>10.828. 50×50×40×60 2 2 故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关． 20 (2)由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有6×＝2(人)，女性 6040 有6×＝4(人)． 60 记男性观众分别为a1，a2，女性观众分别为b1，b2，b3，b4，随机抽取2人，基本事件有(b1， b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共15种． 记至少有一位男性观众为事件A，则事件A包含(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3， a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共9个基本事件， 93 由古典概型，知P(A)＝＝. 155 5．(2016·全国Ⅲ改编)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 1