发布时间 : 星期五 文章勾股定理及逆定理应用（含解答）更新完毕开始阅读
3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ） A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1． B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．
C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定． D．△ABC不是直角三角形．
例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5． 求证：△ABC是直角三角形．
分析 欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，?从而有△BDE?≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定． 证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE． ∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE． ∴△ADC≌△BDE（SAS）． ∴BE=AC=12． ∴∠A=∠DBE． ∴AC∥BE．
在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169． CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169． ∴BC2+BE2=CE2． ∴∠EBC=90°． 又∵AC∥BE，
∴∠ACB=180°-∠EBC=90°． ∴△ABC是直角三角形． 练习4
1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状． 先阅读下列解题过程： 解：∵a2c2-b2c2=a4-b4， ① ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）． ②
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2-7
∴c2=a2+b2． ③ ∴△ABC为直角三角形． ④
问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________； （2）本题的正确结论是________．
2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．
3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，?PC=2，求∠BPC的度数．
例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长． 分析 若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt?△ADC的直角边．
∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程． 解：作AE⊥BC于E． ∵AB=AC，AE⊥BC，
11 ∴BE=EC=BC=×32=16．
22 在Rt△AEC中，
AE=AC-CE=20-16=144， ∴AE=12． 设DE=x，
则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202． ∴144+x2=（16+x）2-202 解得x=9．
2-11 2
2
2
2
2
2-10 ∴BD=BE-DE=16-9=7． 练习5
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1．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．
求证：AD2=AC2+BD2．
2-12
2．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．
2-13
3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？
2-14
勾股定理及应用 答案: 练习1
1．24（提示：利用勾股定理即可求出） 2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A、B为对称点（如图） ∵S=AB×BC，AB=2，
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∴BC=AD=
S． 21AB=1． 2 根据对称性得DF=
由于∠D=90°，据勾股定理得：
1S2 AF=AD?DF??1=2422S2?4
（2）以A、D为对称点（如图）
1S ∴BF=BC=．
24由∠B=90°，据勾股定理得：
S21S2?64． 3．D AF=AB?BF?4?=16422练习2 1．
21（提示：利用Rt△ABE的勾股定理即可求出） 2．0.8m 3．B 4aa，EC=，在Rt△ADF24练习3
1．B 2．AF⊥EF（提示：连结AE，设正方形的边长为a，则DF=FC=中，由勾股定理得：
a252
）=a． 24aa5同理：在Rt△ECF中，EF2=（）2+（）2=a2，
24163925在Rt△ABE中，BE=a，则AE2=a2+a2=a2．
416165525 ∵a2+a2=a2，
41616 AF2=AD2+DF2=a2+（
∴AF+EF=AE． ∴∠AFE=90°． ∴AF⊥EF．
3．A（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定） 练习4
1．（1）③、④
（2）△ABC为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
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