发布时间 : 星期六 文章高三数学第二轮复习资料详解 专题一：数学思想方法(共4节)更新完毕开始阅读
题型三 函数、方程、不等式之间的转化
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例3 设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1.
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(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
审题破题 (1)求f′(x)＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)>0恒成立转化为f(x)的最小值大于0. 解 (1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)． 由已知a>1，∴2a>2，
∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，
∴当x∈(－∞，2)和x∈(2a，＋∞)时，f(x)单调递增， 当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减．
综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数．
(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．
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f(2a)＝(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a
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＝－a3＋4a2＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，
33f(0)＝24a.
a>1，??
由题设知?f?2a?>0，
??f?0?>0，
a>1，
??4
即?－3a?a＋3??a－6?>0，??24a>0，
解得1 反思归纳 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 1 变式训练3 已知函数f(x)＝elnx，g(x)＝f(x)－(x＋1)．(e＝2.718??) e (1)求函数g(x)的极大值； 111 (2)求证：1＋＋＋?＋>ln(n＋1)(n∈N*)． 23n1 (1)解 ∵g(x)＝f(x)－(x＋1)＝lnx－(x＋1)， e1 ∴g′(x)＝－1(x>0)． x令g′(x)>0，解得0 49 ∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g(x)极大值＝g(1)＝－2. (2)证明 由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点， ∴g(x)≤g(1)＝－2，即lnx－(x＋1)≤－2?lnx≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)， 1 令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)，取t＝(n∈N*)， n 1n＋1?1 1＋?＝ln?则>ln?n?n??n?， n＋1?13141 ∴1>ln2，>ln，>ln，?，>ln?， 2233n?n?n＋111134 叠加得1＋＋＋?＋>ln(2···?·)＝ln(n＋1). 23n23n a4421 －?x2＋?－a?x(a是小于1的正实数，典例 (12分)已知函数f(x)＝x3＋?x∈R)．若对于?23??33?3 任意的三个实数x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求实数a的取值范围． 规范解答 8422 a－?x＋?－a?＝?x－?(x＋a－2)，所以令f′(x)＝0，解得x1解 因为f′(x)＝x2＋??3??33??3?2 ＝，x2＝2－a. 3 [2分] [3分] 由0 2 所以令f′(x)>0，得x<，或x>2－a； 3 2 令f′(x)<0，得 3 所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增． [5分] a 所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2－a)＝(2－a)2，最大值为max{f(1)，f(2)}＝ 6 ?1a2?max?3－6，3a?. ?? 21a2 因为当0 5363 221a当 [7分] 2a1a222 所以当0 5636525 2a222 当 2 综上，知所求实数a的取值范围是1－ 2 22 评分细则 (1)求出f′(x)给1分；(2)讨论时将a的范围分为0 55 50 讨论时a的值有重、漏情况扣1分；(3)“综上??”结论不写扣1分． 阅卷老师提醒 将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f(x)在[1,2]上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口．此外，要注意函数f(x)在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f(1)与f(2)的大小关系． π0，?， 1．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为??4?则点P横坐标的取值范围为 1 －1，－? A.? 2??C．[0,1] 答案 A 解析 设P(x0，y0)，倾斜角为α，0≤tanα≤1，f(x)＝x2＋2x＋3，f′(x)＝2x＋2,0≤2x0＋ 1 2≤1，－1≤x0≤－，故选A. 2 23 2．设a＝(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝，则a，b，c的大小关系是( ) 22 A．c 2 sin(17°＋45°)＝sin62°， 2 B．a ( ) B．[－1,0] 1?D.??2，1? b＝cos26°＝sin64°，c＝sin60°，∴c 3．方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围是 55 A．－1≤k≤ B．－≤k≤0 4455 C．0≤k≤ D．－≤k≤1 44 答案 D 解析 求k＝－sin2x－cosx的值域． 15 k＝cos2x－cosx－1＝(cosx－)2－. 24 15 当cosx＝时，kmin＝－， 24当cosx＝－1时，kmax＝1， 5 ∴－≤k≤1，故选D. 4 4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的 距离为1，则实数c的取值范围是________． 51 ( ) 答案 (－13,13) 解析 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1. |c||c| ∵d＝＝，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)． 122＋5213 5．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________． 210答案 5 332x＋y?2 解析 ∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2＝3xy＋1＝×2xy＋1≤×?＋1， 22?2? 8210 ∴(2x＋y)2≤，(2x＋y)max＝. 55 bn＋16．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N＋，若数列{cn}满足cn＝ bn ban，则c2013＝________. 答案 36039 解析 由已知an＝3n，bn＝3n， ∴c2013＝b3×2013＝33 ×2013 ＝36039. 专题限时规范训练 一、选择题 AC 1．在△ABC中，三边长a，b，c满足a＋c＝3b，则tantan的值为 22 1112A. B. C. D. 5423 答案 C A1C 解析 取边长a，b，c分别为4,3,5的直角三角形，易求tan＝，tan＝1，所以tan 222 AC1·tan＝. 2222．等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an>0的最小正整数n为 A．7 答案 B 解析 ∵{an}为等差数列，S13＝0， ∴a1＋a13＝2a7＝0， 又a1＝－12<0，∴显然{an}为递增数列． an>0的最小正整数n为8. 3．AB是过抛物线x2＝4y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于A，B的切线， 则l1，l2的交点的纵坐标为 A．－1 答案 A 52 ( ) ( ) B．8 C．9 D．10 ( ) B．－4 1 C．－ 41D．－ 16