发布时间 : 星期四 文章高三数学第二轮复习资料详解 专题一：数学思想方法(共4节)更新完毕开始阅读
进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．
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变式训练3 是否存在非零实数a，使函数f(x)＝ax2＋(a－2)x＋1在[－2,3]上的最大值为？
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若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
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解 若f(－2)＝，则a＝－，此时，抛物线的开口向下，对称轴方程为x＝－∈[－
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2,3]，显然f(－2)不可能是最大值，因此a≠－.
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a－2?3若f?－
?2a?＝4，
a－2?2a－2?3
即a?－＋(a－2)?－＋1＝，
4?2a??2a?则a2－5a＋4＝0，解得a＝1或a＝4.
1?1
当a＝1时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝∈[－2,3]，此时f??2?是最小值而不2是最大值，因此a≠1；
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－?是最小值当a＝4时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝－∈[－2,3]，此时f??4?4而不是最大值，因此a≠4.
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若f(3)＝，则a＝，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝∈[－2,3]，此时，在[－
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2,3]内f(－2)是最大值，因此a≠. 48综上可知满足条件的a不存在．
典例 (13分)(·北京)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 规范解答
解 (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．
即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b. 解得a＝3，b＝3.[4分]
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(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，
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h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋a2.[6分]
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aa
令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－. 26
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a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下： ?－∞，－a? －a ?－a，－a? x 2?26???2h′(x) h(x) ＋ ↗ 0 － ↘ a－ 60 ?－a，＋∞? ?6?＋ ↗ aa所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(－，＋∞)；
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aa
－，－?.[8分] 单调递减区间为?6??2
a
当－≥－1，即0 2 函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a1－a2. 4aa 当－<－1，且－≥－1，即2 26 aa －∞，－?上单调递增，在区间?－，－1?上单调递减，h(x)在区间 函数h(x)在区间?2???2? a －?＝1. (－∞，－1]上的最大值为h??2? aaaa －∞，－?上单调递增，在区间?－，－?上当－<－1，即a>6时，函数h(x)在区间?2?6???26 a －，－1?上单调递增， 单调递减，在区间??6?a11 －?－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2>0， 又因为h??2?44 a －?＝1.[12分] 所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h??2?aaaa －∞，－?和?－，＋∞?；减区间为?－，－?. 综上所述：f(x)＋g(x)的增区间为?2??66????2 1 当0 4当a>2时，f(x)＋g(x)在(－∞，－1]上的最大值为1.[13分] 评分细则 (1)求出f′(x)，g′(x)给1分；(2)没有列表，语言叙述的参照给分；(3)讨论时漏掉端点扣1分． 阅卷老师提醒 (1)本题利用分类与整合思想，在求解时要注意讨论的对象，同时要理顺 讨论的目的； (2)分类讨论要保证不重不漏，讨论中要灵活处理临界值． 1．函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是 A．[0,1] B．(0,4) D．[0,4] ( ) C．[4，＋∞) 答案 D 38 解析 因为函数f(x)的定义域为一切实数， 所以mx2＋mx＋1≥0对一切实数恒成立， 当m＝0时，原不等式即1≥0对一切实数恒成立， ??m>0 当m≠0时，则需?，解得0 ?Δ＝m－4m≤0? 综上，实数m的取值范围是[0,4]． 2．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1都相切，则双 曲线C的离心率是 6A.3或 223C.或2 3答案 C 解析 设圆的两条过原点的切线方程为y＝kx. 2 由2＝1得k＝±3. k＋1bcb2当＝3时，e＝＝1＋2＝2. aaaacb223当＝3时，e＝＝1＋2＝. baa3 3．若方程lgkx＝2lg(x＋1)仅有一个实根，那么实数k的取值范围是________． 答案 {4}∪(－∞，0) 解析 当k>0时，由lgkx＝2lg(x＋1)，得lgkx－2lg(x＋1)＝0，即kx＝(x＋1)2在(0，＋∞)上仅有一个解，即x2－(k－2)x＋1＝0在(0，＋∞)上仅有一个解． 令f(x)＝x2－(k－2)x＋1，则f(0)>0，由Δ＝0，得k＝0或4.当k＝0时，方程无意义，舍去，所以k＝4. 当k<0时，函数定义域是(－1,0)，函数y＝kx的图象是一条递减且过(－1，－k)与(0,0)的线段，函数y＝(x＋1)2在(－1,0)上递增且过(－1,0)与(0,1)两点，此时两曲线段恒有一个交点，故k<0符合题意． 综上所述，实数k的取值范围是{4}∪(－∞，0)． 4．直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝________. 答案 1或－3 2 解析 若k＝1，直线l1：x＝3，l2：y＝，满足两直线垂直． 5 1－kk 若k≠1，直线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝，由k1·k2＝－1得k＝－3，综上 k－12k＋3k＝1或k＝－3. 5．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则它的通项公式an＝________. 答案 2×3n1 － ( ) B．2或3 236D.或 32 39 解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n1－1)＝2×3n1；当n＝1时，a1＝S1＝2， － － 也满足式子an＝2×3n1， － ∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n1. － 6．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围为 ________________． 答案 a>0且b≤0 解析 ①当a>0时，需x－b恒为非负数， 即a>0，b≤0. ②当a<0时，需x－b恒为非正数． 又∵x∈[0，＋∞)，∴不成立． 综上所述，a、b的取值范围为a>0且b≤0. 专题限时规范训练 一、选择题 1．若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝?，则实数p的取值范围是 ( ) A．p>－4 C．p≥0 答案 A 解析 当A＝?时，Δ＝(p＋2)2－4<0，∴－4 B．－4 D．R 综上所述，p>－4. 2．设函数f(x)＝.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是 A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C 解析 若a>0，则log2a>a)，即2 (－a)<0， a，即2log2a>0，所以a>1；若a<0，则 (－a)>log2(－ ( ) 所以0<－a<1，－1 40