发布时间 : 星期二 文章(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点_直线_平面之间的位置更新完毕开始阅读
又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG， ∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点.
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：
(1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点.
证明 (1)如图，连结EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EF 则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点. 题型二 判断空间两直线的位置关系 例2 (1)(2015·广东改编)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________. ①l与l1，l2都不相交； ②l与l1，l2都相交； ③l至多与l1，l2中的一条相交； ④l至少与l1，l2中的一条相交. (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是________. ①MN与CC1垂直； ②MN与AC垂直； ③MN与BD平行； ④MN与A1B1平行. (3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) 答案 (1)④ (2)④ (3)②④ 解析 (1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2， ∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交. (2)连结B1C，B1D1，如图所示， 则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1， 又BD∥B1D1，∴MN∥BD. ∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1， ∴MN⊥CC1，MN⊥AC. 又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行. (3)图①中，直线GH∥MN； 图②中，G、H、N三点共面，但M?平面GHN， 因此直线GH与MN异面； 图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?平面GMN， 因此GH与MN异面. 所以图②④中GH与MN异面. 思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决. (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论： ①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为________. (2)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠2，有以下四个结论： ①AA1⊥MN；②A1C1∥MN； ③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线. 其中正确结论的序号是________.(注：把你认为正确结论的序号都填上) 答案 (1)1 (2)①③ 解析 (1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立. (2)过N作NP⊥BB1于点P，连结MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确，过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R，S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误.由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面 A1B1C1D1，故③正确. 综上所述，其中正确的序号是①③. 题型三 求两条异面直线所成的角 例3 (2016·南京模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________. 答案 π 3 解析 如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连结GP，则GP∥BD， 所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角， 在△AGP中，AG＝GP＝AP， π 所以∠APG＝. 3引申探究 在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cos θ的值.