发布时间 : 星期二 文章（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点 - 直线 - 平面之间的位置更新完毕开始阅读
8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
?平行直线?共面直线??
?相交直线??
?异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角.
?π?②范围：?0，?.
2??
3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 【知识拓展】 1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.( × ) (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( √ ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )
1.下列命题中正确的个数为________. ①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. 答案 2
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确.
2.(2016·无锡模拟)已知a，b，c是空间的三条直线，给出下列四个命题： ①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线； ③若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交； ④若a，b共面，b，c共面，则a，c也共面. 其中真命题的个数是________. 答案 0
3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为________.(填序号) ①一定是异面直线
②一定是相交直线
③不可能是平行直线 答案 ③
④不可能是相交直线
解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若
b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾.故③正确.
4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________.
答案 45° 60°
EF23
解析 ∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGFFG23
＝45°，
GF23
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝3，
BF2
∴∠GBF＝60°.
5.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断： 1111
①MN≥(AC＋BD)；②MN>(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN<(AC＋BD).
2222其中正确的是________. 答案 ④
解析 如图，取BC的中点O，
连结MO，NO，MN， 11
则OM＝AC，ON＝BD，
22在△MON中，MN ＝(AC＋BD)， 2∴④正确. 题型一 平面基本性质的应用 例1 (1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线 b相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件. 答案 充分不必要 解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交. (2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的11 点，且CG＝BC，CH＝DC.求证： 33 ①E、F、G、H四点共面； ②三直线FH、EG、AC共点. 证明 ①连结EF，GH，如图所示， ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF∥BD. 11 又∵CG＝BC，CH＝DC， 33∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H四点共面. ②易知FH与直线AC不平行，但共面， ∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.