发布时间 : 星期二 文章原点教育中考数学压轴题分类解析汇编动点问题（含答案）更新完毕开始阅读
原点教育培训学校王老师
16. （2012四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D
均在坐标轴上，且AB=5，sinB=4．
5（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
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【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且AB=5，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=4。
5在Rt△OCD中，OC=CD?sinD=4，OD=3，∴OA=AD﹣OD=2。 ∴A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）。
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），将C（0，4）代入得： 2×（﹣3）a=4，解得a=﹣2。
3∴抛物线的解析式为y=2（x+2）（x﹣3）??2x2+2x+4。
3（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线
由（1）得：y2??2x2+2x+4，则：
3333AB：y1??4x?8。
3348?y??x??x2?5?x??2??33，解得：?1，??28。 ?y?022y???12??y??x2+x+43??33?由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5。
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（3）∵S△PAE等于AE和AE上高乘积的一半，
∴当在抛物线上A．E两点之间，P到直线AB的距离最大时，S△PAE最大。
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点
为点P。
设直线L：y??4x+b，
3422?x+b??x2+x+4，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，且△=0。
333由?4x+b??2x2+2x+4化简，得
3332x2?6x+3b?12?0，
?=??6??4?2??3b?12???24b+132=0，
2解得，b=11。
2且4x2?12x+9?0，解得x=3。
27 ）。 ∴直线L：y??4x+11。∴点P（3，32222811?）y??x+9。由（2）得：E（5，，则直线PE： 33设直线PE与x轴交于点F，则点F（27，0），∴AF=OA+OF=491111287343（?）?∴△PAE的最大值：S?PAE?S?PAF?S?AEF?1?49?。 21132127343 ）时，△PAE的面积最大，为综上所述，当P（3，。 2212。
【考点】二次函数综合题，菱形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与抛物线的交点，平行线的性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC．OD．OA的长，从而确定A．C．D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式。
（2）首先由A．B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物
线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分。
（3）该题的关键点是确定点P的位置：P△AE的面积最大，那么AE上的高
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最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点。根据一元二次方程根的判别式△=0求解即可。
17. （2012四川广元12分）如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=4，以O为
3坐标原点，OC为x
轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同
时出发，点D以每
秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运
动，设运动时间为t秒。 （1）求直线AC的解析式；
（2）用含t的代数式表示点D的坐标； （3）当t为何值时，△ODE为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛
物线？并请选择一种
情况，求出所确定抛物线的解析式。
【答案】解：（1）根据题意，得CO=AB=BC?tan∠ACB=4，
∴A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）。
设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，得：4k+3=0，k=?3。
4∴直线AC：y=?3x+3。
4（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，
则有△ADF∽△DCH∽△ACO。
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∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC， 而AD=3t（其中0≤t≤5），OC=AB=4，AC=5，
3∴FD=4AD?12t，AF=3AD?9t，DH=3?9t，HC=4?12t。
555∴D（12t，3?9t）。
55555（3）CE= t，E（t，0），OE=OC-CE=4- t，HE=|CH-CE|=(4?12t)?t5?4?17t5，
则OD=DH+OH=(3?9t)2?(12t)2=9t2?54t?9，
2
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2
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DE=DH+HE=(3?9t)2?(4?17t)2=74t2?38t?25。
5555当△ODE为直角三角形时，有OD+DE=OE，或OD+OE=DE，或
DE+OE=OD，
即(9t2?54t?9)?(74t2?38t?25)?(4?t)2①，
55或(9t2?54t?9)?(4?t)2?74t2?38t?25②，
55或(74t2?38t?25)?(4?t)2?9t2?54t?9③，
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222222
上述三个方程在0≤t≤5内的所有实数解为
3t1?1520，t2?1，t3?0，t4?。 191717（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即t3?0和t4?20时，以Rt△ODE的三个顶点不确定对
称轴平行于y轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线。
∵D（12t，3?9t），E（4-t，0）
55∴当t2?1时，D（12，6），E（3，0）。
55∵抛物线过O（0，0），∴设所求抛物线为y?ax2?bx，将点D，E坐
标代入，得
5?a???614412?a+b?=?6。 5，解得??5255??b??0=9a+3b?2?32