发布时间 : 星期四 文章应用弹塑性力学 李同林 第四章更新完毕开始阅读
的截迹[将ζ3代人式(4-45)即得]为：
这表示六条直线，如图4-18(b)所示，也即：
该柱体与π平面的截迹则为一正六边形，如图4-18（c）所示。
上面出现的k值，只需通过简单受力状态的试验来测定。如采用单向拉伸试验，则ζs为屈服极限，于是有。ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，则由式(4-43)得出：
若采用纯剪切试验，则：，为剪切屈服极限ηs，于是有ζ1=ηs，ζ2=0，ζ3=-ηs得出
比较式(4-48)与式(4一49），若Tresca屈服条件正确，则必有：
最大剪应力的假设，由于和实验结果比较一致，因而一般是被接受的。但在使用Tresca条件时，主应力的人小和次序应该知道，因为这样才能求出最大剪应力ηmax如果能知道主应力的次序，则使用Tresca条件是很方便的。因为从数学表达式来看，它是个线性的简单公式，使用它求解问题是非常方便的。此外。Tresca的最大剪应力屈服条件忽略了中间主应力ζ2对材料屈服的贡献，这是它的不足之处。 2 Mises屈服条件
上面已经指出，Tresca条件在预知主应力大小次序的问题中，应用起来很方便。但在一般情况下却相当麻烦。191年德国力学家米塞斯(R. Von Mises)指出：在等倾面上，Tresca条件六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个顶点的直线段却包含了假定(认为中间主应力不影响屈服)，这种假定是否合适，需经实验证明。Miser认为：用一个圆来连接这六个顶点似乎更合理，并且可避免因曲线不光滑而造成的数学上的困难。Mises屈服条件在主应力空间中的轨迹是外接于Tresca六角柱体的圆柱体，如图连一19（a）所示，该圆柱体垂直于正八面体斜面或π平面。因此它在π平面上的截迹则为一半径等于
的圆，如图4-19
（c）所示，它在ζ1ζ2平面的截迹为外接于六角形的椭圆，如图4-19(b)所示。如用方程表示，Miles条件可 写成：
或者写成为
上两式中的k为常量，其值可通过简单应力状态的试验来测定。若采用单向拉伸试验，ζs,为屈服极限，则ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，由式（4-51)得：
若采用纯剪切试验，同理得ηs=k，于是知：
也就是说ηs≈0.577ζs。
1924年汉基(H. Heneky)对Mises条件的物理意义做了解释.他指出式(4-51)相当于形状改变应变能密度等于某一定值，即：
①
Hencky认为：当韧性材料的形状改变应变能密度Uod达到一定数值k'时，材料便开始屈服。若采用单向拉
伸试验，则材料屈服时的，于是知式(4-51)同式(4-55)是一致的。故也常将Mises屈服
条件称为畸变能条件。
1937年纳达依(A. Nadai)对Mises，条件的物理意义提出了另外的解释。Nadai认为式(4 -51)相当于八面体剪应力η8等于某一定值，即
也就是说，当八面体剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。1952年诺沃日洛夫（B.B. Harauricm)又对Mises条件的物理意义用剪应力的均方值给了又一种解释(此略)。总之，以上三种解释虽然表达形式不同，但实际上。它们之间是存在有内在联系的。
有关验证上述屈服条件的试验资料很多。此处不再详细介绍。实验证明：畸变能条件比最大剪应力条件更接近于实验结果，并且不需要预先知道主应力的大小次序，也考虑到了中间主应力ζ2对屈服的贡献。图4-20给出了薄管实验与拉扭实验的结果。图4 - 20（a）为泰勒等人（G. I. Taylor,H.Quinney)的拉扭试验结果；图4一20(b)为洛德(W. Lodc )薄管试验结果。
例4-2 有一等截面圆轴，处于弯 扭组合应力状态下，如图4-21所示。已
测得材料的屈服极限为ζs=300MPa ,且已知弯矩Mw = 10kN·m，扭矩Mn=30kN·m。若取安全系数为n=1.2，试按材料力学有关公式和强度理论设计轴的直径。
解：圆轴处于弯扭联合作用，故轴内危险点横截面上的两应力分量为：
上式中
，而主应力为：
显然。该圆轴内某点的应力状态为ζ1=ζmax，ζ2=0，ζ3=ζmin。且ζ1、ζ3分别为：
根据Tresca条件知：ζ1一ζ3=ζs，将式(3)代人，并考虑安全系数后得：
解得：
所以轴径可取d≥10.9cm。 根据Mises条件知：
，将式(3)及安全系数计入并化简得：
由式(6)解得：
所以轴径可取d≥10.4cm 。
§4一5岩土材料的变形模型与强度准则
4-5-1岩土材料的变形特点及主要假设
地质或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料以及工业陶瓷等材料统称为岩土材料。
在一般的常规材料试验机上，进行岩土类介质的材料力学实验时，由于试验机压头的位移量大于试件的变形量，试件在破坏时，试验机贮存的弹性变形能立即释放，对试件产生冲击作用并导致剧烈破坏，因此得不到材料应变软化阶段的规律，即不能得到全应力应变曲线。若采用刚性试验机，并能控制加载速度以适应试件的变形速度，就可获得全应力应变曲线。岩石和混凝土等材料的具代表性的全应力应变曲线如图4-22所示。实验表明，当应力较低时，试件材料的内部裂隙被压实，在这个阶段(OA段)，应力的数值增加不大，而压缩应变较大；在内部裂隙被压实之后，应力与应变呈现近似线性增长，在这个阶段( AB段)中，伴有体积变化，而B点的应力值称为屈服强度，随着应力的增加，材料的
微裂纹也在不断发生与扩展，因此应力和应变之间表现出明显的非线性增长，也表现出一定的应变硬化特性(BC段)，C点的应力值称为强度极限(压缩强度极限ζbc或拉伸强度极限ζbt）在C点附近，试件总的体积变形从收缩转人扩胀，即材料出现宏观裂纹，裂纹的扩展使得材料的变形不断增加，而应力不断下降，将这一阶段（CD段)称为应变软化阶段；DE阶段则显示出了材料的剩余强度。在达到强度极限时积蓄于材料内的应变能的数值为峰值左侧曲线OABCF所包围的面积，记为U1，从裂缝到破坏整个过程所消耗的能