发布时间 : 星期六 文章应用弹塑性力学 李同林 第四章更新完毕开始阅读
前面曾经谈到，球形应力状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的屈服。所以。可以认为屈服函数中只包含应力偏量，即；
这样一来，屈服函数就转化为用应力偏量表示的函数，而且可以在主应力ζ1、ζ2、ζ3所构成的空间，即主应力空间来讨论。主应力空间是一个三维空间，物体中任意一点的应力状态都可以用主应力空间中相应点的坐标矢量来表示，如图4-12所示。因此，我们在这一主应力空间内可以形象地给出屈服函数的几何图象，而直观的几何图形将有助于我们对屈服面的认识。
需要说明，在静水压力不太大的情况下，静水压力不影响材料的塑性性质这一假设，对许多金属材料和饱和土质是适用的，但对于岩土一类材料，这一假定并不符合实际.这时就应对式(4-42)进行相应的修正。
下面介绍几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹： 1球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为零。即S1=S2=S3=0，且ζ1=ζ2=ζ3=ζm。显然在主应力空间中，它的轨迹是经过坐标原点并与ζ1、ζ2、ζ3三坐标轴夹角相同的等倾斜直线On，如图4-12所示，其方向余弦为l1=l2=l3=1/√3。On直线的方程式为：
On直线上各点所对应的应力状态是取不同的ζm值的球应力状态。 2平均应力为零
平均应力为零，即ζm= 0，应力偏量Sij不等于零。在主应力空间中，它的轨迹是一个平面，该平面通过坐标原点并与On直线相垂直，也即过原点与坐标平面成等倾斜的平面，我们称它为π平面〔图4-12）。其方程式为；
设在主应力空间中。任一点的坐标矢量用上的分量
和在π平面上的一个分量(即相当于
来表示，如图4-12所示，它可以分解为在直线On方向）这就等于把应力张量ζij分解为球应力张量
，
和偏应力张量Sij。如果我们所研究的问题希望排除球张量而着重考虑偏张量，那么在主应力空间中，我们只濡要分析应力矢量在，平面上的投影就可以了。
3应力偏量为常量
应力偏量为常量，即S1=C1，S2=C2，S3=C3，(C1、C2、C3为常数)。这时，ζ1-C1=ζ2-C2 =ζ3-C3=ζm，它在主应力空间中的轨迹是与On线平行但不经过坐标原点的直线L，如图4-13所示。其方程为；
或写为：
式（d）中即：
，
。显然，直线L上各点对应的应力状态具有相同的偏张量，
4平均应力为常量 平均应力为常量，即
(C为常量)。其在主应力空间的轨迹为一个与On直线正交
但不通过坐标原点的平面。显然该平面与π平面平行。其方程为：
式（f）中的d为该平面与π平面间的距离。显然，该平面上的各点所对应的应力状态具有相同的球张量。
我们知道。当应力ζij较小时.材料处于弹性状态。这就是说，在主应力空间中，围绕着坐标原点有一个弹性变形区域。在这个区域内，应力的无限小增量dζij不会引起塑性变形。当应力增大到一定程度，材料便进人了塑性状态，这时应力的增量dζij就将引起塑性变形(或使塑性变形发生变化)。因此，我们可以设想：在主应力空间中，坐标原点附近的弹性区是被塑性区包围着的，若仅从π平面上来看，弹性区与塑性
区的分界为一条曲线，而在主应力空间中，弹性区与塑性区的分界则为一曲面，该曲面就称为屈服面。它是屈服条件式(4-41)在主应力空间中的轨迹。屈服面的概念是拉伸〔或压缩)应力应变曲线的屈服极限概念的推广。
若我们认为球应力〔静水压力)状态不影响材料的屈服，则上述屈服面必定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表面，其母线垂直于π平面。显然我们对屈服面的讨论只需研究它与π平面的截迹C就可以了，如图4-14所示。曲线C就称为屈服曲线或屈服轨迹。 屈服曲线在π平面内有下列重要性质：
（1）屈服曲线是一条封闭曲线。并且坐标原点被包围在内。容易理解，坐标原点是一个无应力状态，材料不可能在无应力状态下屈服，所以屈服曲线必定不过坐标原点。同时，初始屈服面内是弹性状态，所以屈服曲线必定是封闭的，否则将出现在某种应力状态下材料不屈服的情况，这是不可能的。
（2）屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。在只讨论初始屈服的条件下，材料既然在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与同一应力状态相差若千倍的另一应力状态下再次达到屈服。初始屈服只有一次。
（3）屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。因为材料认为是各向同性的，所以如果（ζ1、ζ2、ζ3）是屈服时的应力状态，那么(ζ1、ζ2、ζ3)必定也是屈服时的应力状态。这就表明，屈服轨迹应当对称于Ⅰ轴(即坐标轴Ⅰ在π平面上的投影)。同样道理，轨迹C也对称于Ⅱ轴和Ⅲ轴，如图4-15所示。这里需要指出的是图4-15所示仅表示理论曲线，未考虑其外凸性。由于我们假定当应力分量改变符号时，屈服函数f（ζij）的值保持不变，即f（ζij）=f（-ζij），所以，如果我们从屈服轨迹上任一点引一条过原点的线段(表示应力按比例卸载，并按同样的比例向反方向加载)，那末它必定在对称于原点的那一点处与轨迹C相交。由此可见，轨迹C不仅对称于轴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，而且还对称于与它们垂直的三条直径，如图4-15中虚线所示。这就是说，由这六条线段所分割的12个30°幅角中，轨迹的形状是相同的，因此，我们只需要考虑其中任一幅角里的应力矢量就可以了。
（4）屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。可以证明，屈服曲线必定是外凸
的(殷绥域，1990)，这就意味着在π平面内任何一根直线至多与屈服曲线相交于两点(除非该直线本身就是屈服轨迹C上的一部分)。
下面再讨论一下屈服曲线的可能位置。
为不失一般性，可以假设轨迹C通过Ⅲ轴上的A点，如图4-16所示。那么，根据上面讨论过的对称条件，可知B、F点(它们分别在Ⅰ、Ⅱ轴上，且
)同样也是轨迹C上的两个点，而且连接
A、B和A、F点的两条直线就是外凸的逐段光滑曲线。它通过A、B及F点，并对称于Ⅲ轴。同时也对称干与Ⅲ轴相邻的两轴(它们分别垂直于Ⅰ轴和Ⅱ轴，图中用虚线表示)。显然，具有上述特征的其他曲线不可能位于折线FAB的内侧。
其次，考虑到对Ⅲ轴的对称性，凡是经过A点并且是外凸的分段光滑的曲线不可能在直线F'AA'的外侧。因此从图4-17可知，一切满足各向同性、不计包辛格效应、与球应力状态无关，并且外凸等条件的可能的屈服轨迹一定位于正六边形ABCDEFA与A'B'C'D'E'F'A'之间。必须强调指出，并非位于两个六边形之间的一切曲线都是许可的，只有外凸的曲线才是可能的屈服轨迹。
4-2-2常用屈服条件
历史上(从19世纪中叶开始)曾经先后提出许多不同形式的屈服条件，如最大正应力条件(G. Galilea )、最大弹性应变条件(B.Saint Venant)、弹性总能量条件(E.Beltrarni ) ,最大剪应力条件(H.Tresca ) 、歪形能条件(R. Von Mises）、Mohr条件(（）. Mohr)等等。但经过大量的实验验证及工程实践的检验，证明符合工程材料特性，又便于在工程中应用的常用屈服条件有以下两种： 1 Tresca屈服条件
1864年，法国工程师屈雷斯卡(H.Tresea)在做了一系列金属挤压实验的基础上，发现在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近于最大剪应力的方向，因此他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶格滑移而形成的。Tresca提出：在物体中，当最大剪应力ηmax(指绝对值)达到某一极限值时，材料便进人塑性状态。当 ζ1≥ζ2≥ζ3时，这个条件可写为如下形式：
如果不知道主应力的大小和次序，则在主应力空间应将Tresca条件写为：
在式（4一44）中，如果有一个式子为等式时，则材料便已进人塑性状态。若将式(4一44)改写为一般性公式，则为：
在主应力空间中，式(4-45)的几何轨迹相当于图4一18（a）中所示正六角柱体。该柱体与ζ1ζ2平面