发布时间 : 星期六 文章黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第三次大联考数学试卷含解析更新完毕开始阅读
能力，属于难题，
?3x??8?t??2（t为参数）
14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?，曲线C的参数方程为
?y?t?2?2??x?3s（s为参数）. ???y?23s（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标. 【答案】（1）x?3y?8?0，y?4x；（2）【解析】 【分析】
（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；
（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得. 【详解】
（1）直线l的普通方程为x?3y?8?0. 在曲线C的参数方程中，y?12s?4x， 所以曲线C的普通方程为y?4x. （2）设点P3s,23s.
22225，?3,23?. 2?2?点P到直线l的距离d?3s2?6s?823?s?1??5. ?22当s?1时，dmin?55，所以点P到直线l的距离的最小值为. 22此时点P的坐标为3,23. 【点睛】
本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题. 15．如图，在平行四边形ABCD中，AB?2，AD?1,则AC?BD的值为_____.
??uuuvuuuv
【答案】-3
【解析】 【分析】
根据ABCD是平行四边形可得出AC?BD?AD?AB，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出AC?BD的值． 【详解】
∵AB＝2，AD＝1，
uuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur∴AC?BD?AB?AD?BA?BC
???uuuruuuruuuruuur??AB?AD???AD?AB?
?uuur2uuur2?AD?AB
＝1﹣4 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
1，则小球落入A袋中的概率为__________． 2
【答案】【解析】
3 4记小球落入B袋中的概率P(B)，则P?A??P?B??1，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直
3?1??1?1则PA?1?PB?3．
向右下落，小球将落入B袋，所以有P?B????????，故本题应填．????44?2??2?4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三E分别在边AB，AC种花卉.方案是：先建造一条直道DE将?ABC分成面积之比为2:1的两部分（点D，
33上）；再取DE的中点M，建造直道AM（如图）.设AD?x，DE?y1，AM?y2（单位：百米）.
（1）分别求y1，y2关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
36【答案】（1）y1?x?2?6，x??2,3?.y2?x2x293x?2,3??. ?2?，
4x2?32?（2）当AD?6百米时，两条直道的长度之和取得最小值??6?2??百米.
??【解析】 【分析】 （1）由S?ADE?2S?ABC，可解得AE.方法一：再在?ADE中，利用余弦定理，可得y1关于x的函数关3系式；在?ADE和?AEM中，利用余弦定理，可得y2关于x的函数关系式.方法二：在?ADE中，可得
uuuur1uuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2DE?AE?AD，则有DE?AE?2AE?AD?AD，化简整理即得；同理AM?AD?AE，化
2??简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得. 【详解】
解：（1）QS?ADE?2S?ABC，?ABC是边长为3的等边三角形，又AD?x， 31?2?1??6?AD?AE?sin???32?sin?，?AE?. 233?23?x?0?AD?x?3?由?，得2?x?3. 60?AE??3?x?法1：在?ADE中，由余弦定理，得
DE2?AD2?AE2?2AD?AE?cos?3?x2?36?6. x2故直道DE长度y1关于x的函数关系式为y1?在?ADE和?AEM中，由余弦定理，得
x2?36?6，x??2,3?. x2AD2?DM2?AM2?2DM?AM?cos?AMDL①
AE2?EM2?AM2?2EM?AM?cos????AMD?L②
因为M为DE的中点，所以DM?EM?22221DE. 22由①?②，得AD?AE?DM?EM?2AM?21DE2?2AM2， 2x2936?1?236??222所以x?????x?2?6??2AM，所以AM??2?.
4x22?x?x??所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为
y2?x293x?2,3??. ?2?，4x2uuuruuuruuur法2：因为在?ADE中，DE?AE?AD，
uuur2uuur2uuuruuuruuur2?6?6?36所以DE?AE?2AE?AD?AD????2?xcos?x2?x2?2?6.
x3x?x?所以，直道DE长度y1关于x的函数关系式为y1?2x2?36?6，x??2,3?. 2xuuuur1uuuruuurAD?AE. 在?ADE中，因为M为DE的中点，所以AM?2??uuuur21uuur2uuur2uuuruuur1?36?AD?AE?2AD?AE??x2?2?6?. 所以AM?44?x???所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为y2?（2）由（1）得，两条直道的长度之和为
x293x?2,3??. ?2?，4x236x293DE?AM?y1?y2?x?2?6??2?
x4x2236x293 ?2x?2?6?2??x4x222?236x?2??x32（当且仅当?2即x?6时取“?”）. ?6?2?x?9??4x2?32?故当AD?6百米时，两条直道的长度之和取得最小值??6?2??百米.
??【点睛】
本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题. 18．如图，在四面体DABC中，AB?BC，DA?DC?DB.