发布时间 : 星期一 文章4-3三角函数的图象与性质更新完毕开始阅读
最小值为-1.
[点评] 本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.
16.(文)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,向量m=(b,2a-c),n=(cosB,cosC),且m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)设f(x)=cos?
??
ωx-B?2??
+sinωx(ω>0),且f(x)的最小正周期为π,求间[0,π
2]上的最大值和最小值.
[解析] (1)由m∥n得,bcosC=(2a-c)cosB, ∴bcosC+ccosB=2acosB.
由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, 即sin(B+C)=2sinAcosB.
又B+C=π-A,∴sinA=2sinAcosB. 又sinA≠0,∴cosB=1
2. 又B∈(0,π),∴B=π
3. (2)由题知f(x)=cos(ωx-π
6)+sinωx =3x+3x+π2cosω2sinωx=3sin(ω6),
由已知得2π(x)=3sin(2x+π
ω=π,∴ω=2,f6),
当x∈[0,πππ7πsin(2x+π1
2]时,(2x+6)∈[6,6],6)∈[-2,1]. 因此,当2x+ππ
6=2, 即x=π
6时,f(x)取得最大值3.
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f(x)在区
π7ππ3
当2x+6=6,即x=2时,f(x)取得最小值-2.
3
(理)已知a=(3,cosx),b=(cos2x,sinx),函数f(x)=a·b-2. (1)求函数f(x)的单调递增区间;
π??
??0,(2)若x∈4?,求函数f(x)的取值范围; ?
(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数? 3
[解析] (1)函数f(x)=3cos2x+sinxcosx-2
?1+cos2x?13??=3+sin2x-2
2??2
π??31
??2x+=2cos2x+2sin2x=sin3?, ?πππ
由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ,k∈Z得, 5ππ
-12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z,
π?5π?
所以f(x)的单调递增区间为?-12+kπ,12+kπ?,(k∈Z).
??π??π?π5π?
(2)∵x∈?0,4?,∴2x+3∈?3,6?,
????πππ
∴当2x+3=2即x=12时,f(x)max=1,
π5ππ11
当2x+3=6即x=4时,f(x)min=2,∴2≤f(x)≤1.
π
(3)将f(x)的图象上所有的点向右平移6个单位长度得到y=sin2x的图象,则其对应的函数即为奇函数.(答案不唯一)
1.(2012·浙江诸暨质检)函数f(x)=sin2x+3cos2x的图象可以由函数y=2sin2x的图象经哪种平移得到( )
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π
A.向左平移12个单位 π
C.向右平移12个单位 [答案] B
π
B.向左平移6个单位 π
D.向右平移6个单位
ππ
[解析] ∵f(x)=sin2x+3cos2x=2sin(2x+3)=2sin2(x+6),∴f(x)的图象可y=2sin2x向左平移π
6个单位得到,故应选B.
2.(2012·福建文,8)函数f(x)=sin(x-π
4)的图象的一条对称轴是( A.x=π4 B.x=π
2 C.x=-π
4 D.x=-π
2 [答案] C
[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题. 函数f(x)=sin(x-π
4)的图象的对称轴是, x-ππ,k∈Z,即x=kπ+3π
4=kπ+24,k∈Z. 当k=-1时,x=-π+3π=-π
44. [点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点.3.对任意x?
π?1+sinx11+sinx21、x2∈??0,2??,x2>x1,y1=x1,y2=x2,则(A.y1=y2 B.y1>y2 C.y1 D.y1、y2的大小关系不能确定 [答案] B - 15 - ) ) 以由函数 1+sinx1 [解析] 取函数y=1+sinx,则x的几何意义为过原点及点(x1,1+sinx1) 1 1+sinx2 的直线斜率,x的几何意义为过原点及点(x2,1+sinx2)的直线斜率,由x1 2观察函数y=1+sinx的图象可得y1>y2.选B. ππ 4.(2012·新课标全国理,9)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+4)在(2,π)上单调递减,则ω的取值范围是( ) 15A.[2,4] 1 C.(0,2] [答案] A [解析] 本题考查了三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质及间接法解题. π5π9ππ3π5π ω=2时,ωx+4∈[4,4]不合题意,排除D,ω=1时,(ωx+4)∈[4,4]合题意,排除B,C. π 5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<2)的图象与x轴 ?2π?π ?的交点中,相邻两个交点之间的距离为2,且图象上的一个最低点为M3,-2?.?? 13 B.[2,4] D.(0,2] 则f(x)的解析式为( ) π?? A.f(x)=2sin?2x+6? ??π???C.f(x)=sin2x+3? ??[答案] A ?2π? [解析] 由最低点为M?3,-2?得A=2. ?? π?? B.f(x)=2cos?2x+6? ??π???D.f(x)=cos2x+3? ?? πTπ 由x轴上相邻两个交点之间的距离为2得,2=2, - 16 -