发布时间 : 星期三 文章4-3三角函数的图象与性质更新完毕开始阅读
8C.7 [答案] B
4D.7
[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解． [解析]
如图，过P作PC⊥x轴，垂足为C，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∴∠APB13
2πAC21BC23
＝α＋β，y＝sin(πx＋φ)，T＝π＝2，tanα＝PC＝1＝2，tanβ＝PC＝1＝2，则tan(α132＋2tanα＋tanβ
＋β)＝＝13＝8，
1－tanα·tanβ
1－2×2
∴选B.
13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
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π
A．y＝sin(2x＋6) π
B．y＝sin(2x－6) π
C．y＝cos(2x＋3) π
D．y＝cos(2x－6) [答案] D
πππ
[解析] 将(－6，0)代入选项逐一验证，对A项，y＝sin(－3＋6)≠0，A错；π
对B项，y＝sin(－2)＝－1≠0，B错；对C项y＝cos0＝1≠0，C错；对D项，πππ
y＝cos(－3－6)＝cos2＝0符合，故选D.
(理)(2012·湖南衡阳联考二)已知函数y＝f(x)sinx的一部分图象如图所示，则函数f(x)的表达式可以是( )
A．2sinx C．－2sinx [答案] D
[解析] 由图象知，y＝－sin2x＝－2sinxcosx＝f(x)sinx，∴f(x)＝－2cosx. π
14．已知关于x的方程2sinx－3sin2x＋m－1＝0在x∈(2，π)上有两个不
2
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B．2cosx D．－2cosx
同的实数根，则m的取值范围是________．
[答案] －2 [解析] m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x π ＝2sin(2x＋6)， π ∵x∈(2，π)时，原方程有两个不同的实数根， ππ ∴直线y＝m与曲线y＝2sin(2x＋6)，x∈(2，π)有两个不同的交点，∴－2 A15．(文)(2012·山东理，17)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(3Acosx，2cos2x)(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6. (1)求A； π (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标15π 缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象．求g(x)在[0，24]上的值域． [分析] (1)根据向量的数量积的坐标运算，利用辅助角公式得到函数解析式，进而确定A的值；(2)利用图象变换得到函数g(x)的解析式，再根据角的范围求出函数的值域． [解析] (1)∵f(x)＝m·n A ＝3Asinxcosx＋2cos2x 3Aπ＝2Asin2x＋2cos2x＝Asin(2x＋6)， 又f(x)的最大值为6， ∴A＝6 - 11 - πππ (2)函数y＝f(x)的图象向左平移12个单位得到函数y＝6sin[2(x＋12)＋6]，即π1 y＝6sin(2x＋3)的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标不π 变，得到函数g(x)＝6sin(4x＋3)的图象． 5πππ7ππ1 当x∈[0，24]时，4x＋3∈[3，6]，sin(4x＋3)∈[－2，1]，g(x)∈[－3,6]． 5π 故函数g(x)在[0，24]上的值域为[－3,6]． [点评] 本题综合考查了三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质以及图象变换，求函数值域时要注意角的范围的讨论． ππ (理)(2012·天津理，15)已知函数f(x)＝sin(2x＋3)＋sin(2x－3)＋2cos2x－1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； ππ (2)求函数f(x)在区间[－4，4]上的最大值和最小值． [分析] (1)先用两角和与差的正弦公式展开，然后用辅助角公式化为一个角ππ 的一个三角函数，可求得最小正周期；(2)根据函数f(x)的在区间[－4，4]上的单调性求最值． ππππ [解析] (1)f(x)＝sin2x·cos3＋cos2x·sin3＋sin2x·cos3－cos2x·sin3＋cos2x π＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋4)． 2π 所以，f(x)的最小正周期T＝2＝π. ππππ (2)因为f(x)在区间[－4，8]上是增函数，在区间[8，4]上是减函数， πππππf(－4)＝－1，f(8)＝2，f(4)＝1，故函数f(x)在区间[－4，4]上的最大值为2， - 12 -