发布时间 : 星期六 文章4-3三角函数的图象与性质更新完毕开始阅读
7ππ
[解析] 由题图知A＝2，∵T＝4(12－3)＝π， 2π2π∴ω＝T＝π＝2.
7π
又∵图象过点(12，－2)，
7ππ
∴－2＝2sin(2×12＋φ)，∴φ＝3＋2kπ(k∈Z)， ππ
不妨取φ＝3，∴f(x)＝2sin(2x＋3)， π6
∴f(0)＝2sin3＝2. π
8．(2011·济南调研)设函数y＝2sin(2x＋3)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，π
若x0∈[－2，0]，则x0＝________.
π
[答案] －6
π
[解析] ∵函数y＝2sin(2x＋3)的对称中心是函数图象与x轴的交点，∴πππ
2sin(2x0＋3)＝0，∵x0∈[－2，0]∴x0＝－6. 9．(2012·衡阳六校联考)给出下列命题：
3
①存在实数x，使得sinx＋cosx＝2；②若α、β为第一象限角，且α>β，则π2x2x7π
tanα>tanβ；③函数y＝sin(3－5)的最小正周期为5π；④函数y＝cos(3＋2)是奇ππ
函数；⑤函数y＝sin2x的图象向左平移4个单位，得到y＝sin(2x＋4)的图象．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上) [答案] ③④
π3
[解析] 对于①，因为sinx＋cosx＝2sin(x＋4)∈[－2，2]，而2>2，因
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3
此不存在实数x，使得sinx＋cosx＝2，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，π2xβ＝30°，则tanα＝tanβ，因此②不正确；对于③，函数y＝sin(3－5)的最小正周2π2x7π2x期是T＝2＝5π，因此③正确；对于④，令f(x)＝cos(3＋2)，则f(x)＝sin3，5π
f(－x)＝－f(x)，因此④正确；对于⑤，函数y＝sin2x的图象向左平移4个单位，ππ
得到y＝sin2(x＋4)＝sin(2x＋2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.
?sinx－cosx?sin2x
10．(2012·北京文)已知函数f(x)＝. sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．
[分析] (1)定义域由sinx≠0易求．将sin2x＝2sinxcosx代入，再利用二倍角公式化简，最后利用辅助角公式化为一个角的一个三角函数形式后求得周期．
π3π(2)利用y＝sinx的单调减区间是[2kπ＋2，2kπ＋2](k∈Z)求f(x)单调减区间． [解析] (1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)， 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为f(x)＝
?sinx－cosx?sin2x
sinx
＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1 π
＝2sin(2x－4)－1，
2π
所以f(x)的最小正周期T＝2＝π.
π3π
(2)函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋2，2kπ＋2](k∈Z)．
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ππ3π
由2kπ＋2≤2x－4≤2kπ＋2，x≠kπ(k∈Z)， 3π7π
得kπ＋8≤x≤kπ＋8(k∈Z)．
3π7π
所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋8，kπ＋8](k∈Z).
能力拓展提升
11.(文)(2011·湖北文，6)已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R.若f(x)≥1，则x的取值范围为( )
π
A．{x|2kπ＋3≤x≤2kπ＋π，k∈Z} π
B．{x|kπ＋3≤x≤kπ＋π，k∈Z} π5π
C．{x|2kπ＋6≤x≤2kπ＋6，k∈Z} π5π
D．{x|kπ＋6≤x≤kπ＋6，k∈Z} [答案] A
ππ1π
[解析] f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－6)≥1，即sin(x－6)≥2，∴2kπ＋6≤xπ5π
－6≤2kπ＋6 k∈Z，
π
∴2kπ＋3≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．
π
(理)(2011·湖南张家界月考)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<2，则f(x)的最大值为( )
A．1 C.3＋1 [答案] B
[解析] f(x)＝(1＋3tanx)cosx
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B．2 D.3＋2
π??
＝cosx＋3sinx＝2sin?x＋6?，
??πππ2π
∵0≤x<2，∴6≤x＋6<3，
π??1
?∴2≤sinx＋6?≤1，∴f(x)的最大值为2. ??
πx
12．(文)(2011·北京大兴区模拟)已知函数f(x)＝3sinR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] D
2π
[解析] f(x)的周期T＝π＝2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知R>3，
R
则2R>23>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.
RR2
[点评] 题中最大值点应为(2，3)，由4＋3＝R2得R2＝4，∴|R|＝2，∴T2π＝π＝4. |R|
(理)(2011·北京西城模拟)函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝( )
A．10
B．8
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