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线性代数B期末试卷及答案
4、 设向量组?1,?2,?,?m线性无关,向量?不能由它们线性表示,则向量组
?1,?2,?,?m,? 的秩为 m+1 、
5.设A为实对称阵,且|A|≠0,则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换就是x=____A?1y__ . ６
.
T设,
?R3?的,
两组
?基为,
a1??1,1,1?a2??1,0,?1??a3??1,0,1?;
?1?(1,2,1,)T?2??2,3,4?,?3??3,4,3?,则由基a1,a2,a3到基?1,?2,?3的过渡
34??2?. 0?10矩阵P=??????10?1??得 分 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分)
1、 设Dn为n阶行列式,则Dn＝0的必要条件就是[ D ]、 (A) Dn中有两行元素对应成比例; (B) Dn中各行元素之与为零; (C)Dn中有一行元素全为零;(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.
2.若向量组?,?,? 线性无关,?,?,? 线性相关,则[ C ]、
(A) ?必可由?,?,? 线性表示、 (B) ?必可由?,?,? 线性表示、
(C) ?必可由?,?,? 线性表示、 (D) ?必可由?,?,? 线性表示、 ３.设3阶方阵A有特征值0,－1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P＝(P1,P2,P3),则P－1AP＝[ B ]、
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线性代数B期末试卷及答案
?100??000??000??; (B)?0?10?; (C) ?010?;(D)0?10(A)??????????001??00－1???000??? ?
?100??000?. ????00－1??４.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的就是[ D ].
(A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1、 ５.若矩阵A3?4有一个3阶子式不为0,则[ C ]、
(A)Ｒ(A)=1; (B) Ｒ(A)=2; (C) Ｒ(A)=3;(D) Ｒ(A)=4 . ６.实二次型f＝x?Ax为正定的充分必要条件就是 [ A ]. (A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C) |A| > 0 ; (D) R(A) = n、
得 分
三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分)
11、求D?b1000的值 b31?b31b10?001000b2100b3?1b10001000b21000b31?1.
?11?b1b20?11?b2000?100b31?b3b1101b2解:D?0?11?b200?1?11?b3２、 求向量组?1?(1,1,1,4),?2?(2,1,3,5),?3?(1,?1,3,?2),?4?(3,1,5,6)的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出、
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线性代数B期末试卷及答案
解:极大无关组?1,?2, ?3?2?2?3?1,?4?2?2??1、
?100??,若 010３、设A、P均为3阶矩阵,且PTAP=?????000??P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ.
解:由于
?100??100???P?110?, 110Q=(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) ????????001???001??于就是QTAQ=
??100????100???110??100????A?P?110????010?PTAP?110? ?P?110?????????????001????001???001???????????001?????110??100??100??210???010??110???110?. ??010??????????001????000????001????000??T4.设A就是n阶实对称矩阵,A2?2A?O,若R(A)?k(0?k?n),求
A?3E、
解: 由A2?2A?O知, A的特征值-2或0,又R(A)?k(0?k?n),且A就
??2?O??是n阶实对称矩阵,则A~????? Word 文档
?20O?????(k个-2),故???0?线性代数B期末试卷及答案
A?3E?3n?k.
?220??相似于对角矩阵?,求a、 82a5、设矩阵A=?????006??解: 由|A-λE|=0,得A的三个特征值λ1=λ2=6,λ3= -2、由于A相似于对角矩阵,R(A-6E)=1,即
??420??2?10??8?4a?~?00a?, ??????000????000??显然,当a=0时,R(A-6E)=1,A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量.
?x1?a1x2?a12x3?a13，?23得 分 ?x1?a2x2?a2x3?a2， 四、(本题满分10分)对线性方程组? 23
?x1?a3x2?a3x3?a3，23??x1?a4x2?a4x3?a4.(1) 若a1,a2,a3,a4两两不等,问方程组就是否有解,为什么？
(2)若a1?a3?b, a2?a4??b (b?0),且已知方程的两个解?1?(1,1,?1)T,
?2?(?1,1,1)T,试给出方程组的通解.
解:(1)因为
1a11a21a31a4a122a22a32a4a133a2?(a2?a1)(a3?a1)(a3?a2)(a4?a1)(a4?a2)(a4?a3)?0,3a33a4b)?R(A),无解. 故R(AM Word 文档