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直线与椭圆位置关系
一、椭圆方程及其几何性质
标准方程
图 形
焦 点 在 x 轴 上
xa22焦 点 在 y 轴 上
ya22?yb22?1
?xb22?1
焦点坐 标 顶点坐标 对 称 性 范 围 长轴、短轴
F1??c,0?,F2?C,0?
F1?0,?c?F2?0,c? A1??a,0?,A2?a,0?,B1?0,?b?,B2?0,b? A1?0,?a?,A2?0,a?,B1??b,0?,B2?b,0?
关于x轴、y轴、原点都对称
x?a,y?b关于x轴、y轴、原点都对称
y?a,x?b
长轴A1A2，其长度为 2a； 短轴B1B2，其长度为2b
e?caa2长轴A1A2，其长度为2a； 短轴B1B2，其长度为2b
ba22离 心 率 准线方程
?0
c?e?1?且e2?1?
e?caa2?0
?e?1?且e2?1?ba22
x??2y??b2c焦点到相应 b
准线的距离 c通 经 长 2b2a
2c（过焦点与长轴垂直的弦的弦长）
2ba2ac（过焦点与长轴垂直的弦的弦长）
两条准线 间距离
2ac22
二、直线与椭圆的位置关系：
解题方法：将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个变量后可得到一个二次方程，讨论这个方程的根，并结合
根与系数关系，可以解决如下问题：
（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）；
（2）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式）； （3）计算弦长：(弦长公式：AB?注：x1?x2?1?k2?x2?x1或AB?1?1k2?y2?y1，其中k为AB所在直线的斜率)
2 (x1?x2)?4x1x2而x1?x2和x1x2可用韦达定理解决，不必求出x1 和x2的值，即“设而不求”
思想体现.
（4）涉及到中点弦的问题还可以采用点差法来处理. 题型一：直线与椭圆的位置关系：
22例1．（1）直线y=x+m和椭圆4x+y=1，当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围。
（2）若直线y??x?m与曲线
x220?y25?1(y?0)有一个公共点，求m的取值范围
（3）若直线y?kx?1与焦点在x轴上的椭圆
题型二：弦长问题：
例2．（1）已知斜率为1的直线l过椭圆
（2）过点P（0,2）的直线与椭圆
x2x25?y2m?1总有公共点，求实数m的范围.
x24?y2?1的右焦点交椭圆与A、B两点.，求弦AB的长.
2?y2?1相交于A、B两点，且弦长AB?143，求直线方程.
（3）已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
2?x2（4）F1,F2是椭圆?y?1的左、右焦点，过F1作倾斜角的直线与椭圆交于P,Q两点，求?F2PQ的面积.
32
题型三：中点弦问题：
22例3．已知一直线与椭圆4x?9y?36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的直线方程
练习：在椭圆中x2?4y2?16中，求通过点（2,1）且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长。
题型四：求椭圆方程：
例4：中心在原点，一个焦点为F10,50的椭圆截直线y?3x?2所得弦的中点横坐标为
??12，求椭圆的方程
例5：已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
102，求椭圆方程.
直线与椭圆位置关系作业 1.直线x=2与椭圆
x243A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
x2?y2?1的交点个数为（ ）
2.直线y=1被椭圆
4?y22?1截得的线段长为（ ）
A.42 B3.2 C.22 D.2 3．直线y?kx?1(k?R)与椭圆
??1恒有公共点，则m的取值范围是 （ ） 5mA．[1,5)?(5,??) B．(0,5) C．[1,??) D．(1,5)
x2y24．设直线l：2x+y-2=0与椭圆x2+y24=1的交点是A，B，P为椭圆上的动点，则使ΔPAB的面积为
12的
点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 5.若直线y?x?t与椭圆
A.2 B.
x24?y?1相交于A,B两点，当t变化时，|AB|的最大值是（ ）
2455 C.
x24105 D.
2105
6．已知点?4,2?是直线l被椭圆
36?y29?1所截得的弦中点，则l方程是??????（ ）
A．x?2y=0 B. x+2y?4=0 C. 2x+3y+4=0 D. x+2y?8=0
7．中心为?0,0?，一焦点为F0,52，截直线y?3x?2所得弦的中点的横坐标为
x2??12的椭圆方程为
A．
25?y275?1 B．
x275?y225?1 C．
2x275?2y225?1 D．
2x225?2y275?1
7．直线
x?y+1=0被椭圆
xa22x216?y24?1截得的弦长为 .
8.AB为过椭圆?yb22?1(a?b?0)中心的弦，F2?c,0?F2是其右焦点，则?ABF2的面积的最大值为 ?49．已知F1,F2是椭圆x2?2y2?2的焦点，过F1作倾斜角为
的弦AB，则?F2AB的面积为_____________．
10.已知直线l：y?x?m，椭圆9x2?16y2?144，则m为 时l与椭圆相切；m为 时l与椭圆相交；m为 时，l与椭圆相离.
11. 已知椭圆
x22?y21?1的左右焦点分别为F1,F2，若过点P?0,?2?及F1的直线交椭圆于A,B两点，求弦长
AB及弦AB的中点坐标.
12．已知椭圆方程为 13．椭圆
??1的左右焦点分别为F1,F2，过中心O做直线与椭圆相交于A,B两点，若?F2AB得面积为452020，求直线AB的方程。
x2x?12?y?1，内有一条以点P?1,2?22??为中点的弦AB，求AB所在的直线l的方程. ?y214．一动圆过定点A(?2,0)，且与定圆(x?（1）求动圆圆心C的轨迹M的方程：
2)?y22?12相切。
（2）过点P?0,2?的直线与轨迹M交于不同两点E,F，求PE?PF的取值范围。
15．已知椭圆
x22ab（1）求椭圆的方程；
?y22=1(a>b>0)的离心率e=63，过点A?0，?b?和B?a,0?的直线与坐标原点距离为
32.
（2）已知定点E??1,0?，若直线y=kx+2?k?0?与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.